微分積分例

$\tan (x)$

ステップ 1

$x$ に関する $\tan (x)$ の微分係数は $\sec^{2} (x)$ です。

$f' (x) = \sec^{2} (x)$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \sec (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\sec (x)$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

ステップ 2.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 u \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

ステップ 2.1.3

$u$ のすべての発生を $\sec (x)$ で置き換えます。

$2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

ステップ 2.2

$x$ に関する $\sec (x)$ の微分係数は $\sec (x) \tan (x)$ です。

$2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x))$

ステップ 2.3

$\sec (x)$ を $1$ 乗します。

$2 (\sec^{1} (x) \sec (x)) \tan (x)$

ステップ 2.4

$\sec (x)$ を $1$ 乗します。

$2 (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) \tan (x)$

ステップ 2.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x)$

ステップ 2.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = 2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

ステップ 3

三次導関数を求めます。

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ステップ 3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 \sec^{2} (x) \tan (x)$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)]$

ステップ 3.2

$f (x) = \sec^{2} (x)$ および $g (x) = \tan (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$2 (\sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)])$

ステップ 3.3

$x$ に関する $\tan (x)$ の微分係数は $\sec^{2} (x)$ です。

$2 (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)])$

ステップ 3.4

指数を足して $\sec^{2} (x)$ に $\sec^{2} (x)$ を掛けます。

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ステップ 3.4.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 ({\sec (x)}^{2 + 2} + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)])$

ステップ 3.4.2

$2$ と $2$ をたし算します。

$2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)])$

ステップ 3.5

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \sec (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.5.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\sec (x)$ とします。

$2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)]))$

ステップ 3.5.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) (2 u \frac{d}{d x} [\sec (x)]))$

ステップ 3.5.3

$u$ のすべての発生を $\sec (x)$ で置き換えます。

$2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) (2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]))$

ステップ 3.6

$2$ を $\tan (x)$ の左に移動させます。

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \cdot \tan (x) \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

ステップ 3.7

$x$ に関する $\sec (x)$ の微分係数は $\sec (x) \tan (x)$ です。

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \tan (x) \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))$

ステップ 3.8

$\tan (x)$ を $1$ 乗します。

$2 (\sec^{4} (x) + 2 (\tan^{1} (x) \tan (x)) \sec (x) \sec (x))$

ステップ 3.9

$\tan (x)$ を $1$ 乗します。

$2 (\sec^{4} (x) + 2 (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x)) \sec (x) \sec (x))$

ステップ 3.10

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 (\sec^{4} (x) + 2 {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x) \sec (x))$

ステップ 3.11

$1$ と $1$ をたし算します。

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) \sec (x) \sec (x))$

ステップ 3.12

$\sec (x)$ を $1$ 乗します。

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) (\sec^{1} (x) \sec (x)))$

ステップ 3.13

$\sec (x)$ を $1$ 乗します。

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)))$

ステップ 3.14

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) {\sec (x)}^{1 + 1})$

ステップ 3.15

$1$ と $1$ をたし算します。

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x))$

ステップ 3.16

簡約します。

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ステップ 3.16.1

分配則を当てはめます。

$2 \sec^{4} (x) + 2 (2 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x))$

ステップ 3.16.2

$2$ に $2$ をかけます。

$2 \sec^{4} (x) + 4 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)$

ステップ 3.16.3

項を並べ替えます。

$f''' (x) = 4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + 2 \sec^{4} (x)$

微分積分 例

微分積分例