微分積分例

$x e^{x}$

ステップ 1

$x e^{x}$ を関数で書きます。

$f (x) = x e^{x}$

ステップ 2

一次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 2.1.1

$f (x) = x$ および $g (x) = e^{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.1.3

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 2.1.3.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x e^{x} + e^{x} \cdot 1$

ステップ 2.1.3.2

$e^{x}$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = x e^{x} + e^{x}$

ステップ 2.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $x e^{x} + e^{x}$ です。

$x e^{x} + e^{x}$

ステップ 3

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $x e^{x} + e^{x} = 0$ を解きます。

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ステップ 3.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$x e^{x} + e^{x} = 0$

ステップ 3.2

$e^{x}$ を $x e^{x} + e^{x}$ で因数分解します。

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ステップ 3.2.1

$e^{x}$ を $x e^{x}$ で因数分解します。

$e^{x} x + e^{x} = 0$

ステップ 3.2.2

$1$ を掛けます。

$e^{x} x + e^{x} \cdot 1 = 0$

ステップ 3.2.3

$e^{x}$ を $e^{x} x + e^{x} \cdot 1$ で因数分解します。

$e^{x} (x + 1) = 0$

ステップ 3.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$e^{x} = 0$

$x + 1 = 0$

ステップ 3.4

$e^{x}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.4.1

$e^{x}$ が $0$ に等しいとします。

$e^{x} = 0$

ステップ 3.4.2

$x$ について $e^{x} = 0$ を解きます。

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ステップ 3.4.2.1

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

ステップ 3.4.2.2

$\ln (0)$ が未定義なので、方程式は解くことができません。

未定義

ステップ 3.4.2.3

$e^{x} = 0$ の解はありません

解がありません

ステップ 3.5

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.5.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 3.5.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 3.6

最終解は $e^{x} (x + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 1$

ステップ 4

微分係数が $0$ に等しくなるような値は $- 1$ です。

$- 1$

ステップ 5

微分係数 $f' (x) = x e^{x} + e^{x}$ を $0$ または未定義にする点を求めた後、 $f (x) = x e^{x}$ が増加・減少している場所を確認する間隔は $(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$ です。

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

ステップ 6

区間 $(- \infty, - 1)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$f' (- 2) = (- 2) \cdot e^{- 2} + e^{- 2}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f' (- 2) = - 2 \cdot \frac{1}{e^{2}} + e^{- 2}$

ステップ 6.2.1.2

$- 2$ と $\frac{1}{e^{2}}$ をまとめます。

$f' (- 2) = \frac{- 2}{e^{2}} + e^{- 2}$

ステップ 6.2.1.3

分数の前に負数を移動させます。

$f' (- 2) = - \frac{2}{e^{2}} + e^{- 2}$

ステップ 6.2.1.4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f' (- 2) = - \frac{2}{e^{2}} + \frac{1}{e^{2}}$

ステップ 6.2.2

分数をまとめます。

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ステップ 6.2.2.1

公分母の分子をまとめます。

$f' (- 2) = \frac{- 2 + 1}{e^{2}}$

ステップ 6.2.2.2

式を簡約します。

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ステップ 6.2.2.2.1

$- 2$ と $1$ をたし算します。

$f' (- 2) = \frac{- 1}{e^{2}}$

ステップ 6.2.2.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$f' (- 2) = - \frac{1}{e^{2}}$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $- \frac{1}{e^{2}}$ です。

$- \frac{1}{e^{2}}$

ステップ 6.3

$x = - 2$ で微分係数は $- \frac{1}{e^{2}}$ です。これは負の値なので、関数は $(- \infty, - 1)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(- \infty, - 1)$ で減少

ステップ 7

区間 $(- 1, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f' (0) = (0) \cdot e^{0} + e^{0}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

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ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.2.1.1

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$f' (0) = 0 \cdot 1 + e^{0}$

ステップ 7.2.1.2

$0$ に $1$ をかけます。

$f' (0) = 0 + e^{0}$

ステップ 7.2.1.3

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$f' (0) = 0 + 1$

ステップ 7.2.2

$0$ と $1$ をたし算します。

$f' (0) = 1$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $1$ です。

$1$

ステップ 7.3

$x = 0$ で微分係数は $1$ です。これは正の値なので、関数は $(- 1, \infty)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(- 1, \infty)$ で増加

ステップ 8

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(- 1, \infty)$ で増加

$(- \infty, - 1)$ で減少

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例