微分積分例

$x^{2} \sin (2 x)$

ステップ 1

$u = x^{2}$ と $d v = \sin (2 x)$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$x^{2} (- \frac{1}{2} \cos (2 x)) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) (2 x) d x$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

$\cos (2 x)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$x^{2} (- \frac{\cos (2 x)}{2}) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) (2 x) d x$

ステップ 2.2

$x^{2}$ と $\frac{\cos (2 x)}{2}$ をまとめます。

$- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) (2 x) d x$

ステップ 3

$- \frac{1}{2} \cdot 2$ は $x$ に対して定数なので、 $- \frac{1}{2} \cdot 2$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} - (- \frac{1}{2} \cdot 2 \int \cos (2 x) (x) d x)$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} - (- 2 (\frac{1}{2}) \int \cos (2 x) (x) d x)$

ステップ 4.2

$- 2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} - (\frac{- 2}{2} \int \cos (2 x) (x) d x)$

ステップ 4.3

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} - (\frac{2 \cdot - 1}{2} \int \cos (2 x) (x) d x)$

ステップ 4.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} - (\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \cos (2 x) (x) d x)$

ステップ 4.3.2.2

共通因数を約分します。

$- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} - (\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \cos (2 x) (x) d x)$

ステップ 4.3.2.3

式を書き換えます。

$- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} - (\frac{- 1}{1} \int \cos (2 x) (x) d x)$

ステップ 4.3.2.4

$- 1$ を $1$ で割ります。

$- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} - - \int \cos (2 x) (x) d x$

ステップ 4.4

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + 1 \int \cos (2 x) (x) d x$

ステップ 4.5

$\int \cos (2 x) (x) d x$ に $1$ をかけます。

$- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \int \cos (2 x) (x) d x$

ステップ 5

$u = x$ と $d v = \cos (2 x)$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + x (\frac{1}{2} \sin (2 x)) - \int \frac{1}{2} \sin (2 x) d x$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$\frac{1}{2}$ と $\sin (2 x)$ をまとめます。

$- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + x \frac{\sin (2 x)}{2} - \int \frac{1}{2} \sin (2 x) d x$

ステップ 6.2

$x$ と $\frac{\sin (2 x)}{2}$ をまとめます。

$- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} - \int \frac{1}{2} \sin (2 x) d x$

ステップ 7

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} - (\frac{1}{2} \int \sin (2 x) d x)$

ステップ 8

$u = 2 x$ とします。次に $d u = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 8.1

$u = 2 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 8.1.1

$2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 8.1.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 8.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 8.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 8.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{2} \int \sin (u) \frac{1}{2} d u$

ステップ 9

$\sin (u)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{\sin (u)}{2} d u$

ステップ 10

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \sin (u) d u)$

ステップ 11

簡約します。

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ステップ 11.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int \sin (u) d u$

ステップ 11.2

$2$ に $2$ をかけます。

$- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{4} \int \sin (u) d u$

ステップ 12

$\sin (u)$ の $u$ に関する積分は $- \cos (u)$ です。

$- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{4} (- \cos (u) + C)$

ステップ 13

$- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{4} (- \cos (u) + C)$ を $- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} + \frac{\cos (u)}{4} + C$ に書き換えます。

$- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} + \frac{\cos (u)}{4} + C$

ステップ 14

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} + \frac{\cos (2 x)}{4} + C$

ステップ 15

項を並べ替えます。

$- \frac{1}{2} x^{2} \cos (2 x) + \frac{1}{2} x \sin (2 x) + \frac{1}{4} \cos (2 x) + C$

微分積分 例

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