微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{(\sin (x) - x)}{x^{3}}$

Step 1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x) - x}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x) - lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\sin (0) - lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\sin (0) + 0}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

$0$ と $0$ をたし算します。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

極限べき乗則を利用して、指数 $3$ を $x^{3}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{3}}$

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{0^{3}}$

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{0}{0}$

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

Step 2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{(\sin (x) - x)}{x^{3}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) - x]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Step 3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) - x]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

総和則では、 $\sin (x) - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

$\frac{d}{d x} [- x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) - \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) - 1 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

$- 1$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) - 1}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

項を並べ替えます。

$lim_{x \to 0} \frac{- 1 + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{- 1 + \cos (x)}{3 x^{2}}$

Step 4

$\frac{1}{3}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1 + \cos (x)}{x^{2}}$

Step 5

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} - 1 + \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 1 \cdot 1 + lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 1 + \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 1 + \cos (0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 1 + 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0^{2}}$

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{- 1 + \cos (x)}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- 1 + \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

分母と分子を微分します。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- 1 + \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

総和則では、 $- 1 + \cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 - \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

$0$ から $\sin (x)$ を引きます。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x)}{2 x}$

Step 6

$\frac{1}{2}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x)}{x}$

Step 7

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{lim_{x \to 0} - \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 1$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{- lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{- \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{- \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{- 0}{lim_{x \to 0} x}$

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{0}{0}$

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{0}{0}$

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

分母と分子を微分します。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \sin (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ です。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x)}{1}$

$- \cos (x)$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} - \cos (x)$

Step 8

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 1$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot - 1 lim_{x \to 0} \cos (x)$

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot - 1 \cos (lim_{x \to 0} x)$

Step 9

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot - 1 \cos (0)$

Step 10

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

$\frac{1}{3}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{1}{3 \cdot 2} \cdot - 1 \cos (0)$

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{6} \cdot - 1 \cos (0)$

$\frac{1}{6}$ と $- 1$ をまとめます。

$\frac{- 1}{6} \cos (0)$

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{6} \cos (0)$

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$- \frac{1}{6} \cdot 1$

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- \frac{1}{6}$

微分積分 例

微分積分例