微分積分例

$f (x) = e^{\sin (x)}$

Step 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\sin (x)$ とします。

$f' (x) = \frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (\sin (x))$

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$f' (x) = e^{u} \frac{d}{d x} (\sin (x))$

$u$ のすべての発生を $\sin (x)$ で置き換えます。

$f' (x) = e^{\sin (x)} \frac{d}{d x} (\sin (x))$

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$f' (x) = e^{\sin (x)} \cos (x)$

Step 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

$f (x) = e^{\sin (x)}$ および $g (x) = \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f'' (x) = e^{\sin (x)} \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (e^{\sin (x)})$

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$f'' (x) = e^{\sin (x)} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (e^{\sin (x)})$

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\sin (x)$ とします。

$f'' (x) = e^{\sin (x)} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$f'' (x) = e^{\sin (x)} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{u} \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

$u$ のすべての発生を $\sin (x)$ で置き換えます。

$f'' (x) = e^{\sin (x)} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{\sin (x)} \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$f'' (x) = e^{\sin (x)} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{\sin (x)} \cos (x)$

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = e^{\sin (x)} (- \sin (x)) + \cos (x) \cos (x) e^{\sin (x)}$

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = e^{\sin (x)} (- \sin (x)) + \cos (x) \cos (x) e^{\sin (x)}$

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = e^{\sin (x)} (- \sin (x)) + {\cos (x)}^{1 + 1} e^{\sin (x)}$

$1$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = e^{\sin (x)} (- \sin (x)) + \cos^{2} (x) e^{\sin (x)}$

項を並べ替えます。

$f'' (x) = - e^{\sin (x)} \sin (x) + e^{\sin (x)} \cos^{2} (x)$

Step 3

三次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

総和則では、 $- e^{\sin (x)} \sin (x) + e^{\sin (x)} \cos^{2} (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- e^{\sin (x)} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [e^{\sin (x)} \cos^{2} (x)]$ です。

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (- e^{\sin (x)} \sin (x)) + \frac{d}{d x} (e^{\sin (x)} \cos^{2} (x))$

$\frac{d}{d x} [- e^{\sin (x)} \sin (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- e^{\sin (x)} \sin (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [e^{\sin (x)} \sin (x)]$ です。

$f''' (x) = - \frac{d}{d x} (e^{\sin (x)} \sin (x)) + \frac{d}{d x} (e^{\sin (x)} \cos^{2} (x))$

$f (x) = e^{\sin (x)}$ および $g (x) = \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f''' (x) = - (e^{\sin (x)} \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (e^{\sin (x)})) + \frac{d}{d x} (e^{\sin (x)} \cos^{2} (x))$

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$f''' (x) = - (e^{\sin (x)} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (e^{\sin (x)})) + \frac{d}{d x} (e^{\sin (x)} \cos^{2} (x))$

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\sin (x)$ とします。

$f''' (x) = - (e^{\sin (x)} \cos (x) + \sin (x) (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (\sin (x)))) + \frac{d}{d x} (e^{\sin (x)} \cos^{2} (x))$

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$f''' (x) = - (e^{\sin (x)} \cos (x) + \sin (x) (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (\sin (x)))) + \frac{d}{d x} (e^{\sin (x)} \cos^{2} (x))$

$u_{1}$ のすべての発生を $\sin (x)$ で置き換えます。

$f''' (x) = - (e^{\sin (x)} \cos (x) + \sin (x) (e^{\sin (x)} \frac{d}{d x} (\sin (x)))) + \frac{d}{d x} (e^{\sin (x)} \cos^{2} (x))$

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$f''' (x) = - (e^{\sin (x)} \cos (x) + \sin (x) e^{\sin (x)} \cos (x)) + \frac{d}{d x} (e^{\sin (x)} \cos^{2} (x))$

$\frac{d}{d x} [e^{\sin (x)} \cos^{2} (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

$f (x) = e^{\sin (x)}$ および $g (x) = \cos^{2} (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f''' (x) = - (e^{\sin (x)} \cos (x) + \sin (x) e^{\sin (x)} \cos (x)) + e^{\sin (x)} \frac{d}{d x} (\cos^{2} (x)) + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} (e^{\sin (x)})$

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $\cos (x)$ とします。

$f''' (x) = - (e^{\sin (x)} \cos (x) + \sin (x) e^{\sin (x)} \cos (x)) + e^{\sin (x)} (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{2}) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} (e^{\sin (x)})$

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f''' (x) = - (e^{\sin (x)} \cos (x) + \sin (x) e^{\sin (x)} \cos (x)) + e^{\sin (x)} (2 u_{2} \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} (e^{\sin (x)})$

$u_{2}$ のすべての発生を $\cos (x)$ で置き換えます。

$f''' (x) = - (e^{\sin (x)} \cos (x) + \sin (x) e^{\sin (x)} \cos (x)) + e^{\sin (x)} (2 \cos (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} (e^{\sin (x)})$

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$f''' (x) = - (e^{\sin (x)} \cos (x) + \sin (x) e^{\sin (x)} \cos (x)) + e^{\sin (x)} (2 \cos (x) (- \sin (x))) + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} (e^{\sin (x)})$

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

連鎖律を当てはめるために、 $u_{3}$ を $\sin (x)$ とします。

$f''' (x) = - (e^{\sin (x)} \cos (x) + \sin (x) e^{\sin (x)} \cos (x)) + e^{\sin (x)} (2 \cos (x) (- \sin (x))) + \cos^{2} (x) (\frac{d}{d u (3)} (e^{u_{3}}) \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ は $a^{u_{3}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$f''' (x) = - (e^{\sin (x)} \cos (x) + \sin (x) e^{\sin (x)} \cos (x)) + e^{\sin (x)} (2 \cos (x) (- \sin (x))) + \cos^{2} (x) (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

$u_{3}$ のすべての発生を $\sin (x)$ で置き換えます。

$f''' (x) = - (e^{\sin (x)} \cos (x) + \sin (x) e^{\sin (x)} \cos (x)) + e^{\sin (x)} (2 \cos (x) (- \sin (x))) + \cos^{2} (x) (e^{\sin (x)} \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$f''' (x) = - (e^{\sin (x)} \cos (x) + \sin (x) e^{\sin (x)} \cos (x)) + e^{\sin (x)} (2 \cos (x) (- \sin (x))) + \cos^{2} (x) (e^{\sin (x)} \cos (x))$

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f''' (x) = - (e^{\sin (x)} \cos (x) + \sin (x) e^{\sin (x)} \cos (x)) + e^{\sin (x)} (- 2 \cos (x) \sin (x)) + \cos^{2} (x) (e^{\sin (x)} \cos (x))$

指数を足して $\cos^{2} (x)$ に $\cos (x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

$\cos (x)$ を移動させます。

$f''' (x) = - (e^{\sin (x)} \cos (x) + \sin (x) e^{\sin (x)} \cos (x)) + e^{\sin (x)} (- 2 \cos (x) \sin (x)) + \cos (x) \cos^{2} (x) e^{\sin (x)}$

$\cos (x)$ に $\cos^{2} (x)$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$f''' (x) = - (e^{\sin (x)} \cos (x) + \sin (x) e^{\sin (x)} \cos (x)) + e^{\sin (x)} (- 2 \cos (x) \sin (x)) + \cos (x) \cos^{2} (x) e^{\sin (x)}$

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f''' (x) = - (e^{\sin (x)} \cos (x) + \sin (x) e^{\sin (x)} \cos (x)) + e^{\sin (x)} (- 2 \cos (x) \sin (x)) + {\cos (x)}^{1 + 2} e^{\sin (x)}$

$1$ と $2$ をたし算します。

$f''' (x) = - (e^{\sin (x)} \cos (x) + \sin (x) e^{\sin (x)} \cos (x)) + e^{\sin (x)} (- 2 \cos (x) \sin (x)) + \cos^{3} (x) e^{\sin (x)}$

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

分配則を当てはめます。

$f''' (x) = - (e^{\sin (x)} \cos (x)) - (\sin (x) e^{\sin (x)} \cos (x)) + e^{\sin (x)} (- 2 \cos (x) \sin (x)) + \cos^{3} (x) e^{\sin (x)}$

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

$- \sin (x) e^{\sin (x)} \cos (x)$ の因数を並べ替えます。

$f''' (x) = - e^{\sin (x)} \cos (x) - e^{\sin (x)} \cos (x) \sin (x) + e^{\sin (x)} (- 2 \cos (x) \sin (x)) + \cos^{3} (x) e^{\sin (x)}$

$- e^{\sin (x)} \cos (x) \sin (x)$ と $e^{\sin (x)} (- 2 \cos (x) \sin (x))$ をたし算します。

タップして手順をさらに表示してください…

$e^{\sin (x)}$ と $- 2$ を並べ替えます。

$f''' (x) = - e^{\sin (x)} \cos (x) - e^{\sin (x)} \cos (x) \sin (x) - 2 \cdot (e^{\sin (x)} \cos (x) \sin (x)) + \cos^{3} (x) e^{\sin (x)}$

$- e^{\sin (x)} \cos (x) \sin (x)$ から $2 \cdot e^{\sin (x)} \cos (x) \sin (x)$ を引きます。

$f''' (x) = - e^{\sin (x)} \cos (x) - 3 e^{\sin (x)} \cos (x) \sin (x) + \cos^{3} (x) e^{\sin (x)}$

項を並べ替えます。

$f''' (x) = - e^{\sin (x)} \cos (x) - 3 e^{\sin (x)} \cos (x) \sin (x) + e^{\sin (x)} \cos^{3} (x)$

$\cos (x)$ を $- e^{\sin (x)} \cos (x) - 3 e^{\sin (x)} \cos (x) \sin (x) + e^{\sin (x)} \cos^{3} (x)$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

$\cos (x)$ を $- e^{\sin (x)} \cos (x)$ で因数分解します。

$f''' (x) = \cos (x) (- e^{\sin (x)}) - 3 e^{\sin (x)} \cos (x) \sin (x) + e^{\sin (x)} \cos^{3} (x)$

$\cos (x)$ を $- 3 e^{\sin (x)} \cos (x) \sin (x)$ で因数分解します。

$f''' (x) = \cos (x) (- e^{\sin (x)}) + \cos (x) (- 3 e^{\sin (x)} \sin (x)) + e^{\sin (x)} \cos^{3} (x)$

$\cos (x)$ を $e^{\sin (x)} \cos^{3} (x)$ で因数分解します。

$f''' (x) = \cos (x) (- e^{\sin (x)}) + \cos (x) (- 3 e^{\sin (x)} \sin (x)) + \cos (x) (e^{\sin (x)} \cos^{2} (x))$

$\cos (x)$ を $\cos (x) (- e^{\sin (x)}) + \cos (x) (- 3 e^{\sin (x)} \sin (x))$ で因数分解します。

$f''' (x) = \cos (x) (- e^{\sin (x)} - 3 e^{\sin (x)} \sin (x)) + \cos (x) (e^{\sin (x)} \cos^{2} (x))$

$\cos (x)$ を $\cos (x) (- e^{\sin (x)} - 3 e^{\sin (x)} \sin (x)) + \cos (x) (e^{\sin (x)} \cos^{2} (x))$ で因数分解します。

$f''' (x) = \cos (x) (- e^{\sin (x)} - 3 e^{\sin (x)} \sin (x) + e^{\sin (x)} \cos^{2} (x))$

$e^{\sin (x)} \cos^{2} (x)$ を移動させます。

$f''' (x) = \cos (x) (- e^{\sin (x)} + e^{\sin (x)} \cos^{2} (x) - 3 e^{\sin (x)} \sin (x))$

$- e^{\sin (x)}$ を $- e^{\sin (x)}$ で因数分解します。

$f''' (x) = \cos (x) (- e^{\sin (x)} \cdot 1 + e^{\sin (x)} \cos^{2} (x) - 3 e^{\sin (x)} \sin (x))$

$- e^{\sin (x)}$ を $e^{\sin (x)} \cos^{2} (x)$ で因数分解します。

$f''' (x) = \cos (x) (- e^{\sin (x)} \cdot 1 - e^{\sin (x)} (- 1 \cos^{2} (x)) - 3 e^{\sin (x)} \sin (x))$

$- e^{\sin (x)}$ を $- e^{\sin (x)} (1) - e^{\sin (x)} (- 1 \cos^{2} (x))$ で因数分解します。

$f''' (x) = \cos (x) (- e^{\sin (x)} (1 - 1 \cos^{2} (x)) - 3 e^{\sin (x)} \sin (x))$

$- 1 \cos^{2} (x)$ を $- \cos^{2} (x)$ に書き換えます。

$f''' (x) = \cos (x) (- e^{\sin (x)} (1 - \cos^{2} (x)) - 3 e^{\sin (x)} \sin (x))$

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$f''' (x) = \cos (x) (- e^{\sin (x)} \sin^{2} (x) - 3 e^{\sin (x)} \sin (x))$

分配則を当てはめます。

$f''' (x) = \cos (x) (- e^{\sin (x)} \sin^{2} (x)) + \cos (x) (- 3 e^{\sin (x)} \sin (x))$

積の可換性を利用して書き換えます。

$f''' (x) = - \cos (x) e^{\sin (x)} \sin^{2} (x) + \cos (x) (- 3 e^{\sin (x)} \sin (x))$

積の可換性を利用して書き換えます。

$f''' (x) = - \cos (x) e^{\sin (x)} \sin^{2} (x) - 3 \cos (x) e^{\sin (x)} \sin (x)$

$- \cos (x) e^{\sin (x)} \sin^{2} (x) - 3 \cos (x) e^{\sin (x)} \sin (x)$ の因数を並べ替えます。

$f''' (x) = - e^{\sin (x)} \cos (x) \sin^{2} (x) - 3 e^{\sin (x)} \cos (x) \sin (x)$

Step 4

$x$ に関する $f (x)$ の三次導関数は $- e^{\sin (x)} \cos (x) \sin^{2} (x) - 3 e^{\sin (x)} \cos (x) \sin (x)$ です。

$- e^{\sin (x)} \cos (x) \sin^{2} (x) - 3 e^{\sin (x)} \cos (x) \sin (x)$

微分積分 例

微分積分例