微分積分例

\infty \sum n = 0 {(\frac{1}{2})}^{n}

$\sum_{n = 0}^{\infty} {(\frac{1}{2})}^{n}$

ステップ 1

a

$a$ が第1項、

r

$r$ が連続する項の間の比の時、無限等比級数の和は公式

\frac{a}{1 - r}

$\frac{a}{1 - r}$ を利用して求められます。

ステップ 2

公式

r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}

$r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ に代入し簡約することで、連続する項の比を求めます。

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ステップ 2.1

a_{n}

$a_{n}$ と

a_{n + 1}

$a_{n + 1}$ を

r

$r$ の公式に代入します。

r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{n + 1}}{{(\frac{1}{2})}^{n}}

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{n + 1}}{{(\frac{1}{2})}^{n}}$

ステップ 2.2

{(\frac{1}{2})}^{n + 1}

${(\frac{1}{2})}^{n + 1}$ と

{(\frac{1}{2})}^{n}

${(\frac{1}{2})}^{n}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1

{(\frac{1}{2})}^{n}

${(\frac{1}{2})}^{n}$ を

{(\frac{1}{2})}^{n + 1}

${(\frac{1}{2})}^{n + 1}$ で因数分解します。

r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{n} \frac{1}{2}}{{(\frac{1}{2})}^{n}}

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{n} \frac{1}{2}}{{(\frac{1}{2})}^{n}}$

ステップ 2.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.2.1

1

$1$ を掛けます。

r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{n} \frac{1}{2}}{{(\frac{1}{2})}^{n} \cdot 1}

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{n} \frac{1}{2}}{{(\frac{1}{2})}^{n} \cdot 1}$

ステップ 2.2.2.2

共通因数を約分します。

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{n} \frac{1}{2}}{{(\frac{1}{2})}^{n} \cdot 1}$

ステップ 2.2.2.3

式を書き換えます。

$r = \frac{\frac{1}{2}}{1}$

ステップ 2.2.2.4

$\frac{1}{2}$ を

$1$ で割ります。

$r = \frac{1}{2}$

ステップ 3

Since

$| r | < 1$ , the series converges.

ステップ 4

下界に代入し簡約することで級数の第1項を求めます。

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ステップ 4.1

$n$ の

$0$ を

${(\frac{1}{2})}^{n}$ に代入します。

$a = {(\frac{1}{2})}^{0}$

ステップ 4.2

簡約します。

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ステップ 4.2.1

積の法則を

$\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$a = \frac{1^{0}}{2^{0}}$

ステップ 4.2.2

$0$ にべき乗するものは

$1$ となります。

$a = \frac{1}{2^{0}}$

ステップ 4.2.3

$0$ にべき乗するものは

$1$ となります。

$a = \frac{1}{1}$

ステップ 4.2.4

$1$ を

$1$ で割ります。

$a = 1$

ステップ 5

比と第1項の値を和の公式に代入します。

$\frac{1}{1 - \frac{1}{2}}$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

分母を簡約します。

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ステップ 6.1.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{1}{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}$

ステップ 6.1.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{\frac{2 - 1}{2}}$

ステップ 6.1.3

$2$ から

$1$ を引きます。

$\frac{1}{\frac{1}{2}}$

ステップ 6.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$1 \cdot 2$

ステップ 6.3

$2$ に

$1$ をかけます。

$2$

微分積分 例

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