微分積分例

$\sin^{2} (θ)$

ステップ 1

$\sin^{2} (θ)$ を関数で書きます。

$f (θ) = \sin^{2} (θ)$

ステップ 2

関数 $F (θ)$ は、微分係数 $f (θ)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (θ) = \int f (θ) d θ$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (θ) = \int \sin^{2} (θ) d θ$

ステップ 4

半角公式を利用して $\sin^{2} (θ)$ を $\frac{1 - \cos (2 θ)}{2}$ に書き換えます。

$\int \frac{1 - \cos (2 θ)}{2} d θ$

ステップ 5

$\frac{1}{2}$ は $θ$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 θ) d θ$

ステップ 6

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{1}{2} (\int d θ + \int - \cos (2 θ) d θ)$

ステップ 7

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{2} (θ + C + \int - \cos (2 θ) d θ)$

ステップ 8

$- 1$ は $θ$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (θ + C - \int \cos (2 θ) d θ)$

ステップ 9

$u = 2 θ$ とします。次に $d u = 2 d θ$ すると、 $\frac{1}{2} d u = d θ$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 9.1

$u = 2 θ$ とします。 $\frac{d u}{d θ}$ を求めます。

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ステップ 9.1.1

$2 θ$ を微分します。

$\frac{d}{d θ} [2 θ]$

ステップ 9.1.2

$2$ は $θ$ に対して定数なので、 $θ$ に対する $2 θ$ の微分係数は $2 \frac{d}{d θ} [θ]$ です。

$2 \frac{d}{d θ} [θ]$

ステップ 9.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ は $n θ^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 9.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 9.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{2} (θ + C - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

ステップ 10

$\cos (u)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (θ + C - \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

ステップ 11

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (θ + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u))$

ステップ 12

$\cos (u)$ の $u$ に関する積分は $\sin (u)$ です。

$\frac{1}{2} (θ + C - \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

ステップ 13

簡約します。

$\frac{1}{2} (θ - \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

ステップ 14

$u$ のすべての発生を $2 θ$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} (θ - \frac{1}{2} \sin (2 θ)) + C$

ステップ 15

簡約します。

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ステップ 15.1

$\sin (2 θ)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (θ - \frac{\sin (2 θ)}{2}) + C$

ステップ 15.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{2} θ + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 θ)}{2}) + C$

ステップ 15.3

$\frac{1}{2}$ と $θ$ をまとめます。

$\frac{θ}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 θ)}{2}) + C$

ステップ 15.4

$\frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 θ)}{2})$ を掛けます。

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ステップ 15.4.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{\sin (2 θ)}{2}$ をかけます。

$\frac{θ}{2} - \frac{\sin (2 θ)}{2 \cdot 2} + C$

ステップ 15.4.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{θ}{2} - \frac{\sin (2 θ)}{4} + C$

ステップ 16

項を並べ替えます。

$\frac{1}{2} θ - \frac{1}{4} \sin (2 θ) + C$

ステップ 17

答えは関数 $f (θ) = \sin^{2} (θ)$ の不定積分です。

$F (θ) =$ $\frac{1}{2} θ - \frac{1}{4} \sin (2 θ) + C$

微分積分 例

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