微分積分例

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3}}{e^{x^{2}}}$

ステップ 1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{3}}{lim_{x \to \infty} e^{x^{2}}}$

ステップ 1.2

首位係数が正である多項式の無限大における極限は無限大です。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x^{2}}}$

ステップ 1.3

指数 $x^{2}$ が $\infty$ に近づくので、数 $e^{x^{2}}$ が $\infty$ に近づきます。

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 2

$\frac{\infty}{\infty}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3}}{e^{x^{2}}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]}$

ステップ 3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]}$

ステップ 3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]}$

ステップ 3.3

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2}$ とします。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 3.3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 3.3.3

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 3.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{e^{x^{2}} (2 x)}$

ステップ 3.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

$e^{x^{2}} (2 x)$ の因数を並べ替えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{2 e^{x^{2}} x}$

ステップ 3.5.2

$2 e^{x^{2}} x$ の因数を並べ替えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{2 x e^{x^{2}}}$

ステップ 4

極限を求めます。

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ステップ 4.1

$x^{2}$ と $x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$x$ を $3 x^{2}$ で因数分解します。

$lim_{x \to \infty} \frac{x (3 x)}{2 x e^{x^{2}}}$

ステップ 4.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$x$ を $2 x e^{x^{2}}$ で因数分解します。

$lim_{x \to \infty} \frac{x (3 x)}{x (2 e^{x^{2}})}$

ステップ 4.1.2.2

共通因数を約分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{x (3 x)}{x (2 e^{x^{2}})}$

ステップ 4.1.2.3

式を書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x}{2 e^{x^{2}}}$

ステップ 4.2

$\frac{3}{2}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x^{2}}}$

ステップ 5

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} e^{x^{2}}}$

ステップ 5.1.2

首位係数が正である多項式の無限大における極限は無限大です。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x^{2}}}$

ステップ 5.1.3

指数 $x^{2}$ が $\infty$ に近づくので、数 $e^{x^{2}}$ が $\infty$ に近づきます。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

ステップ 5.1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{3}{2} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

ステップ 5.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x^{2}}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]}$

ステップ 5.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

分母と分子を微分します。

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]}$

ステップ 5.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]}$

ステップ 5.3.3

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2}$ とします。

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 5.3.3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 5.3.3.3

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 5.3.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x^{2}} \cdot 2 x}$

ステップ 5.3.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.5.1

$e^{x^{2}} (2 x)$ の因数を並べ替えます。

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 e^{x^{2}} x}$

ステップ 5.3.5.2

$2 e^{x^{2}} x$ の因数を並べ替えます。

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x e^{x^{2}}}$

ステップ 6

$\frac{1}{2}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{x e^{x^{2}}}$

ステップ 7

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x e^{x^{2}}}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot 0$

ステップ 8

答えを簡約します。

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ステップ 8.1

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.1

$\frac{3}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{3}{2 \cdot 2} \cdot 0$

ステップ 8.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{3}{4} \cdot 0$

ステップ 8.2

$\frac{3}{4}$ に $0$ をかけます。

$0$

微分積分 例

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