微分積分例

$f (x) = \sin (\cos (\tan (x)))$

ステップ 1

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = \cos (\tan (x))$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\cos (\tan (x))$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [\cos (\tan (x))]$

ステップ 1.2

$u_{1}$ に関する $\sin (u_{1})$ の微分係数は $\cos (u_{1})$ です。

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [\cos (\tan (x))]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\cos (\tan (x))$ で置き換えます。

$\cos (\cos (\tan (x))) \frac{d}{d x} [\cos (\tan (x))]$

ステップ 2

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = \tan (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $\tan (x)$ とします。

$\cos (\cos (\tan (x))) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

ステップ 2.2

$u_{2}$ に関する $\cos (u_{2})$ の微分係数は $- \sin (u_{2})$ です。

$\cos (\cos (\tan (x))) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

ステップ 2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $\tan (x)$ で置き換えます。

$\cos (\cos (\tan (x))) (- \sin (\tan (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

ステップ 3

$x$ に関する $\tan (x)$ の微分係数は $\sec^{2} (x)$ です。

$\cos (\cos (\tan (x))) (- \sin (\tan (x)) \sec^{2} (x))$

ステップ 4

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ステップ 4.1

$\cos (\cos (\tan (x))) (- \sin (\tan (x)) \sec^{2} (x))$ の因数を並べ替えます。

$- \sec^{2} (x) \cos (\cos (\tan (x))) \sin (\tan (x))$

ステップ 4.2

正弦と余弦に関して $\sec (x)$ を書き換えます。

$- {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \cos (\cos (\tan (x))) \sin (\tan (x))$

ステップ 4.3

積の法則を $\frac{1}{\cos (x)}$ に当てはめます。

$- \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \cos (\cos (\tan (x))) \sin (\tan (x))$

ステップ 4.4

1のすべての数の累乗は1です。

$- \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cos (\cos (\tan (x))) \sin (\tan (x))$

ステップ 4.5

$\cos (\cos (\tan (x)))$ と $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ をまとめます。

$- \frac{\cos (\cos (\tan (x)))}{\cos^{2} (x)} \sin (\tan (x))$

ステップ 4.6

$\sin (\tan (x))$ と $\frac{\cos (\cos (\tan (x)))}{\cos^{2} (x)}$ をまとめます。

$- \frac{\sin (\tan (x)) \cos (\cos (\tan (x)))}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 4.7

$\cos (x)$ を $\cos^{2} (x)$ で因数分解します。

$- \frac{\sin (\tan (x)) \cos (\cos (\tan (x)))}{\cos (x) \cos (x)}$

ステップ 4.8

分数を分解します。

$- (\frac{\cos (\cos (\tan (x)))}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (\tan (x))}{\cos (x)})$

ステップ 4.9

$\frac{\sin (\tan (x))}{\cos (x)}$ を積として書き換えます。

$- (\frac{\cos (\cos (\tan (x)))}{\cos (x)} (\sin (\tan (x)) \frac{1}{\cos (x)}))$

ステップ 4.10

$\sin (\tan (x))$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$- (\frac{\cos (\cos (\tan (x)))}{\cos (x)} (\frac{\sin (\tan (x))}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}))$

ステップ 4.11

簡約します。

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ステップ 4.11.1

$\sin (\tan (x))$ を $1$ で割ります。

$- (\frac{\cos (\cos (\tan (x)))}{\cos (x)} (\sin (\tan (x)) \frac{1}{\cos (x)}))$

ステップ 4.11.2

$\frac{1}{\cos (x)}$ を $\sec (x)$ に変換します。

$- (\frac{\cos (\cos (\tan (x)))}{\cos (x)} (\sin (\tan (x)) \sec (x)))$

ステップ 4.12

$\frac{\cos (\cos (\tan (x)))}{\cos (x)}$ を積として書き換えます。

$- (\cos (\cos (\tan (x))) \frac{1}{\cos (x)} (\sin (\tan (x)) \sec (x)))$

ステップ 4.13

$\cos (\cos (\tan (x)))$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$- (\frac{\cos (\cos (\tan (x)))}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} (\sin (\tan (x)) \sec (x)))$

ステップ 4.14

簡約します。

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ステップ 4.14.1

$\cos (\cos (\tan (x)))$ を $1$ で割ります。

$- (\cos (\cos (\tan (x))) \frac{1}{\cos (x)} (\sin (\tan (x)) \sec (x)))$

ステップ 4.14.2

$\frac{1}{\cos (x)}$ を $\sec (x)$ に変換します。

$- (\cos (\cos (\tan (x))) \sec (x) (\sin (\tan (x)) \sec (x)))$

ステップ 4.15

$\cos (\cos (\tan (x))) \sec (x) (\sin (\tan (x)) \sec (x))$ を掛けます。

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ステップ 4.15.1

$\sec (x)$ を $1$ 乗します。

$- (\cos (\cos (\tan (x))) (\sec^{1} (x) \sec (x)) \sin (\tan (x)))$

ステップ 4.15.2

$\sec (x)$ を $1$ 乗します。

$- (\cos (\cos (\tan (x))) (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) \sin (\tan (x)))$

ステップ 4.15.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- (\cos (\cos (\tan (x))) {\sec (x)}^{1 + 1} \sin (\tan (x)))$

ステップ 4.15.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$- (\cos (\cos (\tan (x))) \sec^{2} (x) \sin (\tan (x)))$

$- \cos (\cos (\tan (x))) \sec^{2} (x) \sin (\tan (x))$

微分積分 例

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