微分積分例

$- (x + 1) {(x - 1)}^{2}$

ステップ 1

$- (x + 1) {(x - 1)}^{2}$ を関数で書きます。

$f (x) = - (x + 1) {(x - 1)}^{2}$

ステップ 2

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

${(x - 1)}^{2}$ を $(x - 1) (x - 1)$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) ((x - 1) (x - 1))]$

ステップ 2.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 1) (x - 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x (x - 1) - 1 (x - 1))]$

ステップ 2.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1))]$

ステップ 2.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

ステップ 2.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

ステップ 2.3.1.2

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

ステップ 2.3.1.3

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

ステップ 2.3.1.4

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1)]$

ステップ 2.3.1.5

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - x - x + 1)]$

ステップ 2.3.2

$- x$ から $x$ を引きます。

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - 2 x + 1)]$

ステップ 2.4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- (x + 1) (x^{2} - 2 x + 1)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 2 x + 1)]$ です。

$- \frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 2 x + 1)]$

ステップ 2.5

$f (x) = x + 1$ および $g (x) = x^{2} - 2 x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$- ((x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1] + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

ステップ 2.6

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

総和則では、 $x^{2} - 2 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$- ((x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

ステップ 2.6.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- ((x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

ステップ 2.6.3

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- ((x + 1) (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

ステップ 2.6.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- ((x + 1) (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

ステップ 2.6.5

$- 2$ に $1$ をかけます。

$- ((x + 1) (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

ステップ 2.6.6

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$- ((x + 1) (2 x - 2 + 0) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

ステップ 2.6.7

$2 x - 2$ と $0$ をたし算します。

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

ステップ 2.6.8

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

ステップ 2.6.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]))$

ステップ 2.6.10

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) (1 + 0))$

ステップ 2.6.11

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.11.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) \cdot 1)$

ステップ 2.6.11.2

$x^{2} - 2 x + 1$ に $1$ をかけます。

$- ((x + 1) (2 x - 2) + x^{2} - 2 x + 1)$

ステップ 2.7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1

分配則を当てはめます。

$- ((x + 1) (2 x - 2)) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

ステップ 2.7.2

分配則を当てはめます。

$- ((x + 1) (2 x) + (x + 1) \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

ステップ 2.7.3

分配則を当てはめます。

$- (x (2 x) + 1 (2 x) + (x + 1) \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

ステップ 2.7.4

分配則を当てはめます。

$- (x (2 x) + 1 (2 x) + x \cdot - 2 + 1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

ステップ 2.7.5

分配則を当てはめます。

$- (x (2 x)) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

ステップ 2.7.6

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.6.1

$x$ を $1$ 乗します。

$- (2 (x^{1} x)) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

ステップ 2.7.6.2

$x$ を $1$ 乗します。

$- (2 (x^{1} x^{1})) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

ステップ 2.7.6.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- (2 x^{1 + 1}) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

ステップ 2.7.6.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$- (2 x^{2}) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

ステップ 2.7.6.5

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 x^{2} - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

ステップ 2.7.6.6

$2$ に $1$ をかけます。

$- 2 x^{2} - (2 x) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

ステップ 2.7.6.7

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 x^{2} - 2 x - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

ステップ 2.7.6.8

$- 2$ を $x$ の左に移動させます。

$- 2 x^{2} - 2 x - (- 2 \cdot x) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

ステップ 2.7.6.9

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 x^{2} - 2 x + 2 x - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

ステップ 2.7.6.10

$- 2$ に $1$ をかけます。

$- 2 x^{2} - 2 x + 2 x - - 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

ステップ 2.7.6.11

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$- 2 x^{2} - 2 x + 2 x + 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

ステップ 2.7.6.12

$- 2 x$ と $2 x$ をたし算します。

$- 2 x^{2} + 0 + 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

ステップ 2.7.6.13

$- 2 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$- 2 x^{2} + 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

ステップ 2.7.6.14

$- 2 x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$- 3 x^{2} + 2 - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

ステップ 2.7.6.15

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$- 3 x^{2} + 2 + 2 x - 1 \cdot 1$

ステップ 2.7.6.16

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 3 x^{2} + 2 + 2 x - 1$

ステップ 2.7.6.17

$2$ から $1$ を引きます。

$- 3 x^{2} + 2 x + 1$

ステップ 3

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

総和則では、 $- 3 x^{2} + 2 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x^{2}$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 3.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 3.2.3

$2$ に $- 3$ をかけます。

$f'' (x) = - 6 x + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = - 6 x + 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 3.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 6 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 3.3.3

$2$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - 6 x + 2 + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 3.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = - 6 x + 2 + 0$

ステップ 3.4.2

$- 6 x + 2$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = - 6 x + 2$

ステップ 4

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$- 3 x^{2} + 2 x + 1 = 0$

ステップ 5

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

${(x - 1)}^{2}$ を $(x - 1) (x - 1)$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) ((x - 1) (x - 1))]$

ステップ 5.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 1) (x - 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x (x - 1) - 1 (x - 1))]$

ステップ 5.1.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1))]$

ステップ 5.1.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

ステップ 5.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

ステップ 5.1.3.1.2

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

ステップ 5.1.3.1.3

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

ステップ 5.1.3.1.4

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1)]$

ステップ 5.1.3.1.5

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - x - x + 1)]$

ステップ 5.1.3.2

$- x$ から $x$ を引きます。

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - 2 x + 1)]$

ステップ 5.1.4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- (x + 1) (x^{2} - 2 x + 1)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 2 x + 1)]$ です。

$- \frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 2 x + 1)]$

ステップ 5.1.5

$- ((x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1] + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

ステップ 5.1.6

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.6.1

総和則では、 $x^{2} - 2 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$- ((x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

ステップ 5.1.6.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- ((x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

ステップ 5.1.6.3

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- ((x + 1) (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

ステップ 5.1.6.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- ((x + 1) (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

ステップ 5.1.6.5

$- 2$ に $1$ をかけます。

$- ((x + 1) (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

ステップ 5.1.6.6

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$- ((x + 1) (2 x - 2 + 0) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

ステップ 5.1.6.7

$2 x - 2$ と $0$ をたし算します。

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

ステップ 5.1.6.8

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

ステップ 5.1.6.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]))$

ステップ 5.1.6.10

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) (1 + 0))$

ステップ 5.1.6.11

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.6.11.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) \cdot 1)$

ステップ 5.1.6.11.2

$x^{2} - 2 x + 1$ に $1$ をかけます。

$- ((x + 1) (2 x - 2) + x^{2} - 2 x + 1)$

ステップ 5.1.7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.7.1

分配則を当てはめます。

$- ((x + 1) (2 x - 2)) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

ステップ 5.1.7.2

分配則を当てはめます。

$- ((x + 1) (2 x) + (x + 1) \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

ステップ 5.1.7.3

分配則を当てはめます。

$- (x (2 x) + 1 (2 x) + (x + 1) \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

ステップ 5.1.7.4

分配則を当てはめます。

$- (x (2 x) + 1 (2 x) + x \cdot - 2 + 1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

ステップ 5.1.7.5

分配則を当てはめます。

$- (x (2 x)) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

ステップ 5.1.7.6

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.7.6.1

$x$ を $1$ 乗します。

$- (2 (x^{1} x)) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

ステップ 5.1.7.6.2

$x$ を $1$ 乗します。

$- (2 (x^{1} x^{1})) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

ステップ 5.1.7.6.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- (2 x^{1 + 1}) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

ステップ 5.1.7.6.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$- (2 x^{2}) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

ステップ 5.1.7.6.5

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 x^{2} - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

ステップ 5.1.7.6.6

$2$ に $1$ をかけます。

$- 2 x^{2} - (2 x) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

ステップ 5.1.7.6.7

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 x^{2} - 2 x - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

ステップ 5.1.7.6.8

$- 2$ を $x$ の左に移動させます。

$- 2 x^{2} - 2 x - (- 2 \cdot x) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

ステップ 5.1.7.6.9

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 x^{2} - 2 x + 2 x - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

ステップ 5.1.7.6.10

$- 2$ に $1$ をかけます。

$- 2 x^{2} - 2 x + 2 x - - 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

ステップ 5.1.7.6.11

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$- 2 x^{2} - 2 x + 2 x + 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

ステップ 5.1.7.6.12

$- 2 x$ と $2 x$ をたし算します。

$- 2 x^{2} + 0 + 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

ステップ 5.1.7.6.13

$- 2 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$- 2 x^{2} + 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

ステップ 5.1.7.6.14

$- 2 x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$- 3 x^{2} + 2 - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

ステップ 5.1.7.6.15

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$- 3 x^{2} + 2 + 2 x - 1 \cdot 1$

ステップ 5.1.7.6.16

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 3 x^{2} + 2 + 2 x - 1$

ステップ 5.1.7.6.17

$2$ から $1$ を引きます。

$f' (x) = - 3 x^{2} + 2 x + 1$

ステップ 5.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- 3 x^{2} + 2 x + 1$ です。

$- 3 x^{2} + 2 x + 1$

ステップ 6

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 3 x^{2} + 2 x + 1 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- 3 x^{2} + 2 x + 1 = 0$

ステップ 6.2

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

$- 1$ を $- 3 x^{2} + 2 x + 1$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$- 1$ を $- 3 x^{2}$ で因数分解します。

$- (3 x^{2}) + 2 x + 1 = 0$

ステップ 6.2.1.2

$- 1$ を $2 x$ で因数分解します。

$- (3 x^{2}) - (- 2 x) + 1 = 0$

ステップ 6.2.1.3

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$- (3 x^{2}) - (- 2 x) - 1 \cdot - 1 = 0$

ステップ 6.2.1.4

$- 1$ を $- (3 x^{2}) - (- 2 x)$ で因数分解します。

$- (3 x^{2} - 2 x) - 1 \cdot - 1 = 0$

ステップ 6.2.1.5

$- 1$ を $- (3 x^{2} - 2 x) - 1 (- 1)$ で因数分解します。

$- (3 x^{2} - 2 x - 1) = 0$

ステップ 6.2.2

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

群による因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 3 \cdot - 1 = - 3$ で和が $b = - 2$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.1.1

$- 2$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$- (3 x^{2} - 2 x - 1) = 0$

ステップ 6.2.2.1.1.2

$- 2$ を $1$ プラス $- 3$ に書き換える

$- (3 x^{2} + (1 - 3) x - 1) = 0$

ステップ 6.2.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$- (3 x^{2} + 1 x - 3 x - 1) = 0$

ステップ 6.2.2.1.1.4

$x$ に $1$ をかけます。

$- (3 x^{2} + x - 3 x - 1) = 0$

ステップ 6.2.2.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$- ((3 x^{2} + x) - 3 x - 1) = 0$

ステップ 6.2.2.1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$- (x (3 x + 1) - (3 x + 1)) = 0$

ステップ 6.2.2.1.3

最大公約数 $3 x + 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$- ((3 x + 1) (x - 1)) = 0$

ステップ 6.2.2.2

不要な括弧を削除します。

$- (3 x + 1) (x - 1) = 0$

ステップ 6.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$3 x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

ステップ 6.4

$3 x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1

$3 x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$3 x + 1 = 0$

ステップ 6.4.2

$x$ について $3 x + 1 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$3 x = - 1$

ステップ 6.4.2.2

$3 x = - 1$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.4.2.2.1

$3 x = - 1$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

ステップ 6.4.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

ステップ 6.4.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 1}{3}$

ステップ 6.4.2.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{1}{3}$

ステップ 6.5

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 6.5.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 6.6

最終解は $- (3 x + 1) (x - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - \frac{1}{3}, 1$

ステップ 7

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 7.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 8

値を求める臨界点です。

$x = - \frac{1}{3}, 1$

ステップ 9

$x = - \frac{1}{3}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 6 (- \frac{1}{3}) + 2$

ステップ 10

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 10.1

各項を簡約します。

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ステップ 10.1.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.1.1.1

$- \frac{1}{3}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$- 6 (\frac{- 1}{3}) + 2$

ステップ 10.1.1.2

$3$ を $- 6$ で因数分解します。

$3 (- 2) \frac{- 1}{3} + 2$

ステップ 10.1.1.3

共通因数を約分します。

$3 \cdot - 2 \frac{- 1}{3} + 2$

ステップ 10.1.1.4

式を書き換えます。

$- 2 \cdot - 1 + 2$

ステップ 10.1.2

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$2 + 2$

ステップ 10.2

$2$ と $2$ をたし算します。

$4$

ステップ 11

$x = - \frac{1}{3}$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = - \frac{1}{3}$ は極小値です

ステップ 12

$x = - \frac{1}{3}$ のときy値を求めます。

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ステップ 12.1

式の変数 $x$ を $- \frac{1}{3}$ で置換えます。

$f (- \frac{1}{3}) = - ((- \frac{1}{3}) + 1) {((- \frac{1}{3}) - 1)}^{2}$

ステップ 12.2

結果を簡約します。

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ステップ 12.2.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$f (- \frac{1}{3}) = - (- \frac{1}{3} + \frac{3}{3}) {((- \frac{1}{3}) - 1)}^{2}$

ステップ 12.2.2

公分母の分子をまとめます。

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{- 1 + 3}{3} \cdot {((- \frac{1}{3}) - 1)}^{2}$

ステップ 12.2.3

$- 1$ と $3$ をたし算します。

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot {((- \frac{1}{3}) - 1)}^{2}$

ステップ 12.2.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3})}^{2}$

ステップ 12.2.5

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3})}^{2}$

ステップ 12.2.6

公分母の分子をまとめます。

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot {(\frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3})}^{2}$

ステップ 12.2.7

分子を簡約します。

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ステップ 12.2.7.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot {(\frac{- 1 - 3}{3})}^{2}$

ステップ 12.2.7.2

$- 1$ から $3$ を引きます。

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot {(\frac{- 4}{3})}^{2}$

ステップ 12.2.8

分数の前に負数を移動させます。

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{4}{3})}^{2}$

ステップ 12.2.9

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 12.2.9.1

積の法則を $- \frac{4}{3}$ に当てはめます。

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot ({(- 1)}^{2} {(\frac{4}{3})}^{2})$

ステップ 12.2.9.2

積の法則を $\frac{4}{3}$ に当てはめます。

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot ({(- 1)}^{2} (\frac{4^{2}}{3^{2}}))$

ステップ 12.2.10

指数を足して $- 1$ に ${(- 1)}^{2}$ を掛けます。

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ステップ 12.2.10.1

${(- 1)}^{2}$ を移動させます。

$f (- \frac{1}{3}) = {(- 1)}^{2} \cdot (- 1 (\frac{2}{3})) \cdot \frac{4^{2}}{3^{2}}$

ステップ 12.2.10.2

${(- 1)}^{2}$ に $- 1$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.10.2.1

$- 1$ を $1$ 乗します。

$f (- \frac{1}{3}) = {(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) (\frac{2}{3})) \cdot \frac{4^{2}}{3^{2}}$

ステップ 12.2.10.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f (- \frac{1}{3}) = {(- 1)}^{2 + 1} (\frac{2}{3}) \cdot \frac{4^{2}}{3^{2}}$

ステップ 12.2.10.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$f (- \frac{1}{3}) = {(- 1)}^{3} (\frac{2}{3}) \cdot \frac{4^{2}}{3^{2}}$

ステップ 12.2.11

$4$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{1}{3}) = {(- 1)}^{3} (\frac{2}{3}) \cdot \frac{16}{3^{2}}$

ステップ 12.2.12

$3$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{1}{3}) = {(- 1)}^{3} (\frac{2}{3}) \cdot \frac{16}{9}$

ステップ 12.2.13

$- 1$ を $3$ 乗します。

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{16}{9}$

ステップ 12.2.14

$- \frac{2}{3} \cdot \frac{16}{9}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.14.1

$\frac{16}{9}$ に $\frac{2}{3}$ をかけます。

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{16 \cdot 2}{9 \cdot 3}$

ステップ 12.2.14.2

$16$ に $2$ をかけます。

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{32}{9 \cdot 3}$

ステップ 12.2.14.3

$9$ に $3$ をかけます。

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{32}{27}$

ステップ 12.2.15

最終的な答えは $- \frac{32}{27}$ です。

$y = - \frac{32}{27}$

ステップ 13

$x = 1$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 6 \cdot 1 + 2$

ステップ 14

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 14.1

$- 6$ に $1$ をかけます。

$- 6 + 2$

ステップ 14.2

$- 6$ と $2$ をたし算します。

$- 4$

ステップ 15

$x = 1$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 1$ は極大値です

ステップ 16

$x = 1$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f (1) = - ((1) + 1) {((1) - 1)}^{2}$

ステップ 16.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.1

$1$ と $1$ をたし算します。

$f (1) = - 1 \cdot (2 {((1) - 1)}^{2})$

ステップ 16.2.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f (1) = - 2 {((1) - 1)}^{2}$

ステップ 16.2.3

$1$ から $1$ を引きます。

$f (1) = - 2 \cdot 0^{2}$

ステップ 16.2.4

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (1) = - 2 \cdot 0$

ステップ 16.2.5

$- 2$ に $0$ をかけます。

$f (1) = 0$

ステップ 16.2.6

最終的な答えは $0$ です。

$y = 0$

ステップ 17

$f (x) = - (x + 1) {(x - 1)}^{2}$ の極値です。

$(- \frac{1}{3}, - \frac{32}{27})$ は極小値です

$(1, 0)$ は極大値です

ステップ 18

微分積分 例

微分積分例