微分積分例

lim_{x \to \infty} x e^{- x}

$lim_{x \to \infty} x e^{- x}$

ステップ 1

x e^{- x}

$x e^{- x}$ を

\frac{x}{e^{x}}

$\frac{x}{e^{x}}$ に書き換えます。

lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x}}

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x}}$

ステップ 2

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 2.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

分子と分母の極限値をとります。

\frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} e^{x}}

$\frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

ステップ 2.1.2

首位係数が正である多項式の無限大における極限は無限大です。

\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

ステップ 2.1.3

指数

x

$x$ が

\infty

$\infty$ に近づくので、数

e^{x}

$e^{x}$ が

\infty

$\infty$ に近づきます。

\frac{\infty}{\infty}

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 2.1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

\frac{\infty}{\infty}

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 2.2

\frac{\infty}{\infty}

$\frac{\infty}{\infty}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

ステップ 2.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 2.3.1

分母と分子を微分します。

lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

ステップ 2.3.2

n = 1

$n = 1$ のとき、

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

ステップ 2.3.3

a

$a$ =

e

$e$ のとき、

\frac{d}{d x} [a^{x}]

$\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は

a^{x} \ln (a)

$a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x}}

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x}}$

lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x}}

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x}}$

lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x}}

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x}}$

ステップ 3

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数

\frac{1}{e^{x}}

$\frac{1}{e^{x}}$ は

0

$0$ に近づきます。

0

$0$

微分積分 例

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