微分積分例

lim x \to 0 \frac{sin (5 x)}{5 x}

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (5 x)}{5 x}$

ステップ 1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1

分子と分母の極限値をとります。

\frac{lim x \to 0 sin (5 x)}{lim x \to 0 5 x}

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} 5 x}$

ステップ 1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 1.2.1

極限を求めます。

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ステップ 1.2.1.1

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

\frac{sin (lim x \to 0 5 x)}{lim x \to 0 5 x}

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} 5 x)}{lim_{x \to 0} 5 x}$

ステップ 1.2.1.2

5

$5$ の項は

x

$x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

\frac{sin (5 lim x \to 0 x)}{lim x \to 0 5 x}

$\frac{\sin (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 5 x}$

\frac{sin (5 lim x \to 0 x)}{lim x \to 0 5 x}

$\frac{\sin (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 5 x}$

ステップ 1.2.2

x

$x$ を

0

$0$ に代入し、

x

$x$ の極限値を求めます。

\frac{sin (5 \cdot 0)}{lim x \to 0 5 x}

$\frac{\sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 5 x}$

ステップ 1.2.3

答えを簡約します。

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ステップ 1.2.3.1

5

$5$ に

0

$0$ をかけます。

\frac{sin (0)}{lim x \to 0 5 x}

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} 5 x}$

ステップ 1.2.3.2

sin (0)

$\sin (0)$ の厳密値は

0

$0$ です。

\frac{0}{lim x \to 0 5 x}

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 5 x}$

\frac{0}{lim x \to 0 5 x}

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 5 x}$

\frac{0}{lim x \to 0 5 x}

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 5 x}$

ステップ 1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.3.1

5

$5$ の項は

x

$x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

\frac{0}{5 lim x \to 0 x}

$\frac{0}{5 lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.3.2

x

$x$ を

0

$0$ に代入し、

x

$x$ の極限値を求めます。

\frac{0}{5 \cdot 0}

$\frac{0}{5 \cdot 0}$

ステップ 1.3.3

5

$5$ に

0

$0$ をかけます。

\frac{0}{0}

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.3.4

0

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

\frac{0}{0}

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.4

0

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

\frac{0}{0}

$\frac{0}{0}$

ステップ 2

\frac{0}{0}

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

lim x \to 0 \frac{sin (5 x)}{5 x} = lim x \to 0 \frac{\frac{d}{d x} [sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [5 x]}

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (5 x)}{5 x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [5 x]}$

ステップ 3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 3.1

分母と分子を微分します。

lim x \to 0 \frac{\frac{d}{d x} [sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [5 x]}

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [5 x]}$

ステップ 3.2

f (x) = sin (x)

$f (x) = \sin (x)$ および

g (x) = 5 x

$g (x) = 5 x$ のとき、

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は

$f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、

$u$ を

$5 x$ とします。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [5 x]}$

ステップ 3.2.2

$u$ に関する

$\sin (u)$ の微分係数は

$\cos (u)$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [5 x]}$

ステップ 3.2.3

$u$ のすべての発生を

$5 x$ で置き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [5 x]}$

ステップ 3.3

$5$ は

$x$ に対して定数なので、

$x$ に対する

$5 x$ の微分係数は

$5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [5 x]}$

ステップ 3.4

$n = 1$ のとき、

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は

$n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x) (5 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [5 x]}$

ステップ 3.5

$5$ に

$1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x) \cdot 5}{\frac{d}{d x} [5 x]}$

ステップ 3.6

$5$ を

$\cos (5 x)$ の左に移動させます。

$lim_{x \to 0} \frac{5 \cdot \cos (5 x)}{\frac{d}{d x} [5 x]}$

ステップ 3.7

$5$ は

$x$ に対して定数なので、

$x$ に対する

$5 x$ の微分係数は

$5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x)}{5 \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.8

$n = 1$ のとき、

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は

$n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x)}{5 \cdot 1}$

ステップ 3.9

$5$ に

$1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x)}{5}$

ステップ 4

極限を求めます。

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ステップ 4.1

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.1

共通因数を約分します。

$lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x)}{5}$

ステップ 4.1.2

$\cos (5 x)$ を

$1$ で割ります。

$lim_{x \to 0} \cos (5 x)$

ステップ 4.2

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\cos (lim_{x \to 0} 5 x)$

ステップ 4.3

$5$ の項は

$x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\cos (5 lim_{x \to 0} x)$

ステップ 5

$x$ を

$0$ に代入し、

$x$ の極限値を求めます。

$\cos (5 \cdot 0)$

ステップ 6

答えを簡約します。

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ステップ 6.1

$5$ に

$0$ をかけます。

$\cos (0)$

ステップ 6.2

$\cos (0)$ の厳密値は

$1$ です。

$1$

微分積分 例

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