微分積分例

lim_{h \to 0} \frac{\cos (h) - 1}{h}

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (h) - 1}{h}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

\frac{lim_{h \to 0} \cos (h) - 1}{lim_{h \to 0} h}

$\frac{lim_{h \to 0} \cos (h) - 1}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

極限を求めます。

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ステップ 1.1.2.1.1

h

$h$ が

0

$0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

\frac{lim_{h \to 0} \cos (h) - lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} h}

$\frac{lim_{h \to 0} \cos (h) - lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.2.1.2

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

\frac{\cos (lim_{h \to 0} h) - lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} h}

$\frac{\cos (lim_{h \to 0} h) - lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.2.1.3

h

$h$ が

0

$0$ に近づくと定数である

1

$1$ の極限値を求めます。

\frac{\cos (lim_{h \to 0} h) - 1 \cdot 1}{lim_{h \to 0} h}

$\frac{\cos (lim_{h \to 0} h) - 1 \cdot 1}{lim_{h \to 0} h}$

\frac{\cos (lim_{h \to 0} h) - 1 \cdot 1}{lim_{h \to 0} h}

$\frac{\cos (lim_{h \to 0} h) - 1 \cdot 1}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.2.2

h

$h$ を

0

$0$ に代入し、

h

$h$ の極限値を求めます。

\frac{\cos (0) - 1 \cdot 1}{lim_{h \to 0} h}

$\frac{\cos (0) - 1 \cdot 1}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.2.3

答えを簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.1.1

\cos (0)

$\cos (0)$ の厳密値は

1

$1$ です。

\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{h \to 0} h}

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.2.3.1.2

- 1

$- 1$ に

1

$1$ をかけます。

\frac{1 - 1}{lim_{h \to 0} h}

$\frac{1 - 1}{lim_{h \to 0} h}$

\frac{1 - 1}{lim_{h \to 0} h}

$\frac{1 - 1}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.2.3.2

1

$1$ から

1

$1$ を引きます。

\frac{0}{lim_{h \to 0} h}

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

\frac{0}{lim_{h \to 0} h}

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

\frac{0}{lim_{h \to 0} h}

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.3

h

$h$ を

0

$0$ に代入し、

h

$h$ の極限値を求めます。

\frac{0}{0}

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

0

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

\frac{0}{0}

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

\frac{0}{0}

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

lim_{h \to 0} \frac{\cos (h) - 1}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\cos (h) - 1]}{\frac{d}{d h} [h]}

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (h) - 1}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\cos (h) - 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\cos (h) - 1]}{\frac{d}{d h} [h]}

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\cos (h) - 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.2

総和則では、

\cos (h) - 1

$\cos (h) - 1$ の

h

$h$ に関する積分は

\frac{d}{d h} [\cos (h)] + \frac{d}{d h} [- 1]

$\frac{d}{d h} [\cos (h)] + \frac{d}{d h} [- 1]$ です。

lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\cos (h)] + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\cos (h)] + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.3

h

$h$ に関する

\cos (h)

$\cos (h)$ の微分係数は

- \sin (h)

$- \sin (h)$ です。

lim_{h \to 0} \frac{- \sin (h) + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (h) + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.4

- 1

$- 1$ は

h

$h$ について定数なので、

h

$h$ について

- 1

$- 1$ の微分係数は

0

$0$ です。

lim_{h \to 0} \frac{- \sin (h) + 0}{\frac{d}{d h} [h]}

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (h) + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.5

- \sin (h)

$- \sin (h)$ と

0

$0$ をたし算します。

lim_{h \to 0} \frac{- \sin (h)}{\frac{d}{d h} [h]}

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.6

n = 1

$n = 1$ のとき、

\frac{d}{d h} [h^{n}]

$\frac{d}{d h} [h^{n}]$ は

n h^{n - 1}

$n h^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

lim_{h \to 0} \frac{- \sin (h)}{1}

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (h)}{1}$

lim_{h \to 0} \frac{- \sin (h)}{1}

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (h)}{1}$

ステップ 1.4

- \sin (h)

$- \sin (h)$ を

1

$1$ で割ります。

lim_{h \to 0} - \sin (h)

$lim_{h \to 0} - \sin (h)$

lim_{h \to 0} - \sin (h)

$lim_{h \to 0} - \sin (h)$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

- 1

$- 1$ の項は

h

$h$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

- lim_{h \to 0} \sin (h)

$- lim_{h \to 0} \sin (h)$

ステップ 2.2

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

- \sin (lim_{h \to 0} h)

$- \sin (lim_{h \to 0} h)$

- \sin (lim_{h \to 0} h)

$- \sin (lim_{h \to 0} h)$

ステップ 3

h

$h$ を

0

$0$ に代入し、

h

$h$ の極限値を求めます。

- \sin (0)

$- \sin (0)$

ステップ 4

答えを簡約します。

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ステップ 4.1

\sin (0)

$\sin (0)$ の厳密値は

0

$0$ です。

- 0

$- 0$

ステップ 4.2

- 1

$- 1$ に

0

$0$ をかけます。

0

$0$

0

$0$

微分積分 例

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