微分積分例

lim_{n \to \infty} \frac{n}{2^{n}}

$lim_{n \to \infty} \frac{n}{2^{n}}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

\frac{lim_{n \to \infty} n}{lim_{n \to \infty} 2^{n}}

$\frac{lim_{n \to \infty} n}{lim_{n \to \infty} 2^{n}}$

ステップ 1.1.2

首位係数が正である多項式の無限大における極限は無限大です。

\frac{\infty}{lim_{n \to \infty} 2^{n}}

$\frac{\infty}{lim_{n \to \infty} 2^{n}}$

ステップ 1.1.3

指数

n

$n$ が

\infty

$\infty$ に近づくので、数

2^{n}

$2^{n}$ が

\infty

$\infty$ に近づきます。

\frac{\infty}{\infty}

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 1.1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

\frac{\infty}{\infty}

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 1.2

\frac{\infty}{\infty}

$\frac{\infty}{\infty}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

lim_{n \to \infty} \frac{n}{2^{n}} = lim_{n \to \infty} \frac{\frac{d}{d n} [n]}{\frac{d}{d n} [2^{n}]}

$lim_{n \to \infty} \frac{n}{2^{n}} = lim_{n \to \infty} \frac{\frac{d}{d n} [n]}{\frac{d}{d n} [2^{n}]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

lim_{n \to \infty} \frac{\frac{d}{d n} [n]}{\frac{d}{d n} [2^{n}]}

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{d}{d n} [n]}{\frac{d}{d n} [2^{n}]}$

ステップ 1.3.2

n = 1

$n = 1$ のとき、

\frac{d}{d n} [n^{n}]

$\frac{d}{d n} [n^{n}]$ は

n \cdot n^{n - 1}

$n \cdot n^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d n} [2^{n}]}

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d n} [2^{n}]}$

ステップ 1.3.3

a

$a$ =

2

$2$ のとき、

\frac{d}{d n} [a^{n}]

$\frac{d}{d n} [a^{n}]$ は

a^{n} \ln (a)

$a^{n} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^{n} \ln (2)}

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^{n} \ln (2)}$

lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^{n} \ln (2)}

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^{n} \ln (2)}$

lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^{n} \ln (2)}

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^{n} \ln (2)}$

ステップ 2

\frac{1}{\ln (2)}

$\frac{1}{\ln (2)}$ の項は

n

$n$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

\frac{1}{\ln (2)} lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^{n}}

$\frac{1}{\ln (2)} lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^{n}}$

ステップ 3

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数

\frac{1}{2^{n}}

$\frac{1}{2^{n}}$ は

0

$0$ に近づきます。

\frac{1}{\ln (2)} \cdot 0

$\frac{1}{\ln (2)} \cdot 0$

ステップ 4

\frac{1}{\ln (2)}

$\frac{1}{\ln (2)}$ に

0

$0$ をかけます。

0

$0$

微分積分 例

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