微分積分例

\int_{0}^{\frac{π}{2}} e^{\sin (7 π x)} \cos (7 π x) d x

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} e^{\sin (7 π x)} \cos (7 π x) d x$

ステップ 1

u_{2} = \sin (7 π x)

$u_{2} = \sin (7 π x)$ とします。次に

d u_{2} = 7 π \cos (7 π x) d x

$d u_{2} = 7 π \cos (7 π x) d x$ すると、

\frac{1}{7 π} d u_{2} = \cos (7 π x) d x

$\frac{1}{7 π} d u_{2} = \cos (7 π x) d x$ です。

u_{2}

$u_{2}$ と

d

$d$

u_{2}

$u_{2}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

u_{2} = \sin (7 π x)

$u_{2} = \sin (7 π x)$ とします。

\frac{d u_{2}}{d x}

$\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

\sin (7 π x)

$\sin (7 π x)$ を微分します。

\frac{d}{d x} [\sin (7 π x)]

$\frac{d}{d x} [\sin (7 π x)]$

ステップ 1.1.2

f (x) = \sin (x)

$f (x) = \sin (x)$ および

g (x) = 7 π x

$g (x) = 7 π x$ のとき、

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は

f' (g (x)) g' (x)

$f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、

u_{1}

$u_{1}$ を

7 π x

$7 π x$ とします。

\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [7 π x]

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [7 π x]$

ステップ 1.1.2.2

u_{1}

$u_{1}$ に関する

\sin (u_{1})

$\sin (u_{1})$ の微分係数は

\cos (u_{1})

$\cos (u_{1})$ です。

\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [7 π x]

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [7 π x]$

ステップ 1.1.2.3

u_{1}

$u_{1}$ のすべての発生を

7 π x

$7 π x$ で置き換えます。

\cos (7 π x) \frac{d}{d x} [7 π x]

$\cos (7 π x) \frac{d}{d x} [7 π x]$

\cos (7 π x) \frac{d}{d x} [7 π x]

$\cos (7 π x) \frac{d}{d x} [7 π x]$

ステップ 1.1.3

微分します。

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ステップ 1.1.3.1

7 π

$7 π$ は

x

$x$ に対して定数なので、

x

$x$ に対する

7 π x

$7 π x$ の微分係数は

7 π \frac{d}{d x} [x]

$7 π \frac{d}{d x} [x]$ です。

\cos (7 π x) (7 π \frac{d}{d x} [x])

$\cos (7 π x) (7 π \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.1.3.2

n = 1

$n = 1$ のとき、

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

\cos (7 π x) (7 π \cdot 1)

$\cos (7 π x) (7 π \cdot 1)$

ステップ 1.1.3.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.3.1

7

$7$ に

1

$1$ をかけます。

\cos (7 π x) (7 π)

$\cos (7 π x) (7 π)$

ステップ 1.1.3.3.2

7

$7$ を

\cos (7 π x)

$\cos (7 π x)$ の左に移動させます。

7 \cdot \cos (7 π x) π

$7 \cdot \cos (7 π x) π$

ステップ 1.1.3.3.3

7 \cos (7 π x) π

$7 \cos (7 π x) π$ の因数を並べ替えます。

7 π \cos (7 π x)

$7 π \cos (7 π x)$

7 π \cos (7 π x)

$7 π \cos (7 π x)$

7 π \cos (7 π x)

$7 π \cos (7 π x)$

7 π \cos (7 π x)

$7 π \cos (7 π x)$

ステップ 1.2

u_{2} = \sin (7 π x)

$u_{2} = \sin (7 π x)$ の

x

$x$ に下限値を代入します。

u_{lower} = \sin (7 π \cdot 0)

$u_{lower} = \sin (7 π \cdot 0)$

ステップ 1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

7 π \cdot 0

$7 π \cdot 0$ を掛けます。

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ステップ 1.3.1.1

0

$0$ に

7

$7$ をかけます。

u_{lower} = \sin (0 π)

$u_{lower} = \sin (0 π)$

ステップ 1.3.1.2

0

$0$ に

π

$π$ をかけます。

u_{lower} = \sin (0)

$u_{lower} = \sin (0)$

u_{lower} = \sin (0)

$u_{lower} = \sin (0)$

ステップ 1.3.2

\sin (0)

$\sin (0)$ の厳密値は

0

$0$ です。

u_{lower} = 0

$u_{lower} = 0$

u_{lower} = 0

$u_{lower} = 0$

ステップ 1.4

u_{2} = \sin (7 π x)

$u_{2} = \sin (7 π x)$ の

x

$x$ に上限値を代入します。

u_{upper} = \sin (7 π \frac{π}{2})

$u_{upper} = \sin (7 π \frac{π}{2})$

ステップ 1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

7 π \frac{π}{2}

$7 π \frac{π}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1.1

\frac{π}{2}

$\frac{π}{2}$ と

7

$7$ をまとめます。

u_{upper} = \sin (\frac{π \cdot 7}{2} π)

$u_{upper} = \sin (\frac{π \cdot 7}{2} π)$

ステップ 1.5.1.2

\frac{π \cdot 7}{2}

$\frac{π \cdot 7}{2}$ と

π

$π$ をまとめます。

u_{upper} = \sin (\frac{π \cdot 7 π}{2})

$u_{upper} = \sin (\frac{π \cdot 7 π}{2})$

ステップ 1.5.1.3

π

$π$ を

1

$1$ 乗します。

u_{upper} = \sin (\frac{7 (π^{1} π)}{2})

$u_{upper} = \sin (\frac{7 (π^{1} π)}{2})$

ステップ 1.5.1.4

π

$π$ を

1

$1$ 乗します。

u_{upper} = \sin (\frac{7 (π^{1} π^{1})}{2})

$u_{upper} = \sin (\frac{7 (π^{1} π^{1})}{2})$

ステップ 1.5.1.5

べき乗則

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

u_{upper} = \sin (\frac{7 π^{1 + 1}}{2})

$u_{upper} = \sin (\frac{7 π^{1 + 1}}{2})$

ステップ 1.5.1.6

1

$1$ と

1

$1$ をたし算します。

u_{upper} = \sin (\frac{7 π^{2}}{2})

$u_{upper} = \sin (\frac{7 π^{2}}{2})$

u_{upper} = \sin (\frac{7 π^{2}}{2})

$u_{upper} = \sin (\frac{7 π^{2}}{2})$

ステップ 1.5.2

\sin (\frac{7 π^{2}}{2})

$\sin (\frac{7 π^{2}}{2})$ の値を求めます。

u_{upper} = 0.01390333

$u_{upper} = 0.01390333$

u_{upper} = 0.01390333

$u_{upper} = 0.01390333$

ステップ 1.6

u_{lower}

$u_{lower}$ と

u_{upper}

$u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

u_{lower} = 0

$u_{lower} = 0$

u_{upper} = 0.01390333

$u_{upper} = 0.01390333$

ステップ 1.7

u_{2}

$u_{2}$ 、

d u_{2}

$d u_{2}$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

\int_{0}^{0.01390333} e^{u_{2}} \frac{1}{7 π} d u_{2}

$\int_{0}^{0.01390333} e^{u_{2}} \frac{1}{7 π} d u_{2}$

\int_{0}^{0.01390333} e^{u_{2}} \frac{1}{7 π} d u_{2}

$\int_{0}^{0.01390333} e^{u_{2}} \frac{1}{7 π} d u_{2}$

ステップ 2

e^{u_{2}}

$e^{u_{2}}$ と

\frac{1}{7 π}

$\frac{1}{7 π}$ をまとめます。

\int_{0}^{0.01390333} \frac{e^{u_{2}}}{7 π} d u_{2}

$\int_{0}^{0.01390333} \frac{e^{u_{2}}}{7 π} d u_{2}$

ステップ 3

\frac{1}{7 π}

$\frac{1}{7 π}$ は

u_{2}

$u_{2}$ に対して定数なので、

\frac{1}{7 π}

$\frac{1}{7 π}$ を積分の外に移動させます。

\frac{1}{7 π} \int_{0}^{0.01390333} e^{u_{2}} d u_{2}

$\frac{1}{7 π} \int_{0}^{0.01390333} e^{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 4

e^{u_{2}}

$e^{u_{2}}$ の

u_{2}

$u_{2}$ に関する積分は

e^{u_{2}}

$e^{u_{2}}$ です。

\frac{1}{7 π} e^{u_{2}}]_{0}^{0.01390333}

$\frac{1}{7 π} e^{u_{2}}]_{0}^{0.01390333}$

ステップ 5

代入し簡約します。

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ステップ 5.1

0.01390333

$0.01390333$ および

0

$0$ で

e^{u_{2}}

$e^{u_{2}}$ の値を求めます。

\frac{1}{7 π} ((e^{0.01390333}) - e^{0})

$\frac{1}{7 π} ((e^{0.01390333}) - e^{0})$

ステップ 5.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

0

$0$ にべき乗するものは

1

$1$ となります。

\frac{1}{7 π} (e^{0.01390333} - 1 \cdot 1)

$\frac{1}{7 π} (e^{0.01390333} - 1 \cdot 1)$

ステップ 5.2.2

- 1

$- 1$ に

1

$1$ をかけます。

\frac{1}{7 π} (e^{0.01390333} - 1)

$\frac{1}{7 π} (e^{0.01390333} - 1)$

\frac{1}{7 π} (e^{0.01390333} - 1)

$\frac{1}{7 π} (e^{0.01390333} - 1)$

\frac{1}{7 π} (e^{0.01390333} - 1)

$\frac{1}{7 π} (e^{0.01390333} - 1)$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

\frac{1}{7 π} \cdot (e^{0.01390333} - 1)

$\frac{1}{7 π} \cdot (e^{0.01390333} - 1)$

10進法形式：

0.00063663 \dots

$0.00063663 \dots$

微分積分 例

微分積分例