微分積分例

$\int \sin (2 x) \sec^{5} (2 x) d x$

ステップ 1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

正弦と余弦に関して $\sec (2 x)$ を書き換えます。

$\int \sin (2 x) {(\frac{1}{\cos (2 x)})}^{5} d x$

ステップ 1.2

積の法則を $\frac{1}{\cos (2 x)}$ に当てはめます。

$\int \sin (2 x) \frac{1^{5}}{\cos^{5} (2 x)} d x$

ステップ 1.3

1のすべての数の累乗は1です。

$\int \sin (2 x) \frac{1}{\cos^{5} (2 x)} d x$

ステップ 1.4

$\sin (2 x)$ と $\frac{1}{\cos^{5} (2 x)}$ をまとめます。

$\int \frac{\sin (2 x)}{\cos^{5} (2 x)} d x$

ステップ 1.5

$\cos (2 x)$ を $\cos^{5} (2 x)$ で因数分解します。

$\int \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x) \cos^{4} (2 x)} d x$

ステップ 1.6

分数を分解します。

$\int \frac{1}{\cos^{4} (2 x)} \cdot \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} d x$

ステップ 1.7

$\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ を $\tan (2 x)$ に変換します。

$\int \frac{1}{\cos^{4} (2 x)} \tan (2 x) d x$

ステップ 1.8

$\frac{1}{\cos^{4} (2 x)}$ と $\tan (2 x)$ をまとめます。

$\int \frac{\tan (2 x)}{\cos^{4} (2 x)} d x$

ステップ 1.9

$\cos (2 x)$ を $\cos^{4} (2 x)$ で因数分解します。

$\int \frac{\tan (2 x)}{\cos (2 x) \cos^{3} (2 x)} d x$

ステップ 1.10

分数を分解します。

$\int \frac{1}{\cos^{3} (2 x)} \cdot \frac{\tan (2 x)}{\cos (2 x)} d x$

ステップ 1.11

正弦と余弦に関して $\tan (2 x)$ を書き換えます。

$\int \frac{1}{\cos^{3} (2 x)} \cdot \frac{\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}}{\cos (2 x)} d x$

ステップ 1.12

$\frac{\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}}{\cos (2 x)}$ を積として書き換えます。

$\int \frac{1}{\cos^{3} (2 x)} (\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} \cdot \frac{1}{\cos (2 x)}) d x$

ステップ 1.13

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.13.1

$\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ を $\tan (2 x)$ に変換します。

$\int \frac{1}{\cos^{3} (2 x)} (\tan (2 x) \frac{1}{\cos (2 x)}) d x$

ステップ 1.13.2

$\frac{1}{\cos (2 x)}$ を $\sec (2 x)$ に変換します。

$\int \frac{1}{\cos^{3} (2 x)} (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

ステップ 1.14

$\frac{1}{\cos^{3} (2 x)} (\tan (2 x) \sec (2 x))$ を掛けます。

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ステップ 1.14.1

$\tan (2 x)$ と $\frac{1}{\cos^{3} (2 x)}$ をまとめます。

$\int \frac{\tan (2 x)}{\cos^{3} (2 x)} \sec (2 x) d x$

ステップ 1.14.2

$\frac{\tan (2 x)}{\cos^{3} (2 x)}$ と $\sec (2 x)$ をまとめます。

$\int \frac{\tan (2 x) \sec (2 x)}{\cos^{3} (2 x)} d x$

ステップ 1.15

$\cos (2 x)$ を $\cos^{3} (2 x)$ で因数分解します。

$\int \frac{\tan (2 x) \sec (2 x)}{\cos (2 x) \cos^{2} (2 x)} d x$

ステップ 1.16

分数を分解します。

$\int \frac{\sec (2 x)}{\cos^{2} (2 x)} \cdot \frac{\tan (2 x)}{\cos (2 x)} d x$

ステップ 1.17

正弦と余弦に関して $\tan (2 x)$ を書き換えます。

$\int \frac{\sec (2 x)}{\cos^{2} (2 x)} \cdot \frac{\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}}{\cos (2 x)} d x$

ステップ 1.18

$\frac{\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}}{\cos (2 x)}$ を積として書き換えます。

$\int \frac{\sec (2 x)}{\cos^{2} (2 x)} (\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} \cdot \frac{1}{\cos (2 x)}) d x$

ステップ 1.19

簡約します。

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ステップ 1.19.1

$\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ を $\tan (2 x)$ に変換します。

$\int \frac{\sec (2 x)}{\cos^{2} (2 x)} (\tan (2 x) \frac{1}{\cos (2 x)}) d x$

ステップ 1.19.2

$\frac{1}{\cos (2 x)}$ を $\sec (2 x)$ に変換します。

$\int \frac{\sec (2 x)}{\cos^{2} (2 x)} (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

ステップ 1.20

$\cos (2 x)$ を $\cos^{2} (2 x)$ で因数分解します。

$\int \frac{\sec (2 x)}{\cos (2 x) \cos (2 x)} (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

ステップ 1.21

分数を分解します。

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} \cdot \frac{\sec (2 x)}{\cos (2 x)} (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

ステップ 1.22

正弦と余弦に関して $\sec (2 x)$ を書き換えます。

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} \cdot \frac{\frac{1}{\cos (2 x)}}{\cos (2 x)} (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

ステップ 1.23

$\frac{\frac{1}{\cos (2 x)}}{\cos (2 x)}$ を積として書き換えます。

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} (\frac{1}{\cos (2 x)} \cdot \frac{1}{\cos (2 x)}) (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

ステップ 1.24

簡約します。

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ステップ 1.24.1

$\frac{1}{\cos (2 x)}$ を $\sec (2 x)$ に変換します。

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} (\sec (2 x) \frac{1}{\cos (2 x)}) (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

ステップ 1.24.2

$\frac{1}{\cos (2 x)}$ を $\sec (2 x)$ に変換します。

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} (\sec (2 x) \sec (2 x)) (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

ステップ 1.24.3

$\sec (2 x)$ を $1$ 乗します。

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} (\sec^{1} (2 x) \sec (2 x)) (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

ステップ 1.24.4

$\sec (2 x)$ を $1$ 乗します。

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} (\sec^{1} (2 x) \sec^{1} (2 x)) (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

ステップ 1.24.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} {\sec (2 x)}^{1 + 1} (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

ステップ 1.24.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} \sec^{2} (2 x) (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

ステップ 1.25

指数を足して $\sec^{2} (2 x)$ に $\sec (2 x)$ を掛けます。

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ステップ 1.25.1

$\sec (2 x)$ を移動させます。

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} (\sec (2 x) \sec^{2} (2 x)) \tan (2 x) d x$

ステップ 1.25.2

$\sec (2 x)$ に $\sec^{2} (2 x)$ をかけます。

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ステップ 1.25.2.1

$\sec (2 x)$ を $1$ 乗します。

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} (\sec^{1} (2 x) \sec^{2} (2 x)) \tan (2 x) d x$

ステップ 1.25.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} {\sec (2 x)}^{1 + 2} \tan (2 x) d x$

ステップ 1.25.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) d x$

ステップ 1.26

$\frac{1}{\cos (2 x)}$ を $\sec (2 x)$ に変換します。

$\int \sec (2 x) \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) d x$

ステップ 1.27

指数を足して $\sec (2 x)$ に $\sec^{3} (2 x)$ を掛けます。

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ステップ 1.27.1

$\sec (2 x)$ に $\sec^{3} (2 x)$ をかけます。

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ステップ 1.27.1.1

$\sec (2 x)$ を $1$ 乗します。

$\int \sec^{1} (2 x) \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) d x$

ステップ 1.27.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int {\sec (2 x)}^{1 + 3} \tan (2 x) d x$

ステップ 1.27.2

$1$ と $3$ をたし算します。

$\int \sec^{4} (2 x) \tan (2 x) d x$

ステップ 2

$u_{2} = \sec (2 x)$ とします。次に $d u_{2} = 2 \sec (2 x) \tan (2 x) d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{2} = \sec (2 x) \tan (2 x) d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u_{2} = \sec (2 x)$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$\sec (2 x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

ステップ 2.1.2

$f (x) = \sec (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $2 x$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\sec (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 2.1.2.2

$u_{1}$ に関する $\sec (u_{1})$ の微分係数は $\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$ です。

$\sec (u_{1}) \tan (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 2.1.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 2.1.3

微分します。

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ステップ 2.1.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)$

ステップ 2.1.3.3

式を簡約します。

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ステップ 2.1.3.3.1

$2$ に $1$ をかけます。

$\sec (2 x) \tan (2 x) \cdot 2$

ステップ 2.1.3.3.2

$2$ を $\sec (2 x) \tan (2 x)$ の左に移動させます。

$2 \sec (2 x) \tan (2 x)$

ステップ 2.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int {u_{2}}^{3} \frac{1}{2} d u_{2}$

ステップ 3

${u_{2}}^{3}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\int \frac{{u_{2}}^{3}}{2} d u_{2}$

ステップ 4

$\frac{1}{2}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{3} d u_{2}$

ステップ 5

べき乗則では、 ${u_{2}}^{3}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\frac{1}{4} {u_{2}}^{4}$ です。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C)$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C)$ を $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C$

ステップ 6.2

簡約します。

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ステップ 6.2.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$\frac{1}{2 \cdot 4} {u_{2}}^{4} + C$

ステップ 6.2.2

$2$ に $4$ をかけます。

$\frac{1}{8} {u_{2}}^{4} + C$

ステップ 7

$u_{2}$ のすべての発生を $\sec (2 x)$ で置き換えます。

$\frac{1}{8} \sec^{4} (2 x) + C$

微分積分 例

微分積分例