微分積分例

$\int \sin (x) \sqrt{2 + 3 \cos (x)} d x$

ステップ 1

$u = 2 + 3 \cos (x)$ とします。次に $d u = - 3 \sin (x) d x$ すると、 $- \frac{1}{3} d u = \sin (x) d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = 2 + 3 \cos (x)$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$2 + 3 \cos (x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 + 3 \cos (x)]$

ステップ 1.1.2

微分します。

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ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $2 + 3 \cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

ステップ 1.1.2.2

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 \cos (x)$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$0 + 3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 1.1.3.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$0 + 3 (- \sin (x))$

ステップ 1.1.3.3

$- 1$ に $3$ をかけます。

$0 - 3 \sin (x)$

ステップ 1.1.4

$0$ から $3 \sin (x)$ を引きます。

$- 3 \sin (x)$

ステップ 1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \sqrt{u} \frac{1}{- 3} d u$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

分数の前に負数を移動させます。

$\int \sqrt{u} (- \frac{1}{3}) d u$

ステップ 2.2

$\sqrt{u}$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\int - \frac{\sqrt{u}}{3} d u$

ステップ 3

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int \frac{\sqrt{u}}{3} d u$

ステップ 4

$\frac{1}{3}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$- (\frac{1}{3} \int \sqrt{u} d u)$

ステップ 5

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$- \frac{1}{3} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 6

べき乗則では、 $u^{\frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ です。

$- \frac{1}{3} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

$- \frac{1}{3} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ を $- \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ に書き換えます。

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 7.2

簡約します。

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ステップ 7.2.1

$\frac{2}{3}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$- \frac{2}{3 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 7.2.2

$3$ に $3$ をかけます。

$- \frac{2}{9} u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 8

$u$ のすべての発生を $2 + 3 \cos (x)$ で置き換えます。

$- \frac{2}{9} {(2 + 3 \cos (x))}^{\frac{3}{2}} + C$

微分積分 例

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