微分積分例

$\int_{π}^{3 π} \cot^{2} (\frac{x}{6}) d x$

ステップ 1

$u = \frac{x}{6}$ とします。次に $d u = \frac{1}{6} d x$ すると、 $6 d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = \frac{x}{6}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$\frac{x}{6}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{6}]$

ステップ 1.1.2

$\frac{1}{6}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x}{6}$ の微分係数は $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{6} \cdot 1$

ステップ 1.1.4

$\frac{1}{6}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{6}$

ステップ 1.2

$u = \frac{x}{6}$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = \frac{π}{6}$

ステップ 1.3

$u = \frac{x}{6}$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = \frac{3 π}{6}$

ステップ 1.4

$3$ と $6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.1

$3$ を $3 π$ で因数分解します。

$u_{upper} = \frac{3 (π)}{6}$

ステップ 1.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.2.1

$3$ を $6$ で因数分解します。

$u_{upper} = \frac{3 π}{3 \cdot 2}$

ステップ 1.4.2.2

共通因数を約分します。

$u_{upper} = \frac{3 π}{3 \cdot 2}$

ステップ 1.4.2.3

式を書き換えます。

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

ステップ 1.5

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = \frac{π}{6}$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

ステップ 1.6

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \cot^{2} (u) \frac{1}{\frac{1}{6}} d u$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{6}$ で割ります。

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \cot^{2} (u) (1 \cdot 6) d u$

ステップ 2.2

$6$ に $1$ をかけます。

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \cot^{2} (u) \cdot 6 d u$

ステップ 2.3

$6$ を $\cot^{2} (u)$ の左に移動させます。

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} 6 \cot^{2} (u) d u$

ステップ 3

$6$ は $u$ に対して定数なので、 $6$ を積分の外に移動させます。

$6 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \cot^{2} (u) d u$

ステップ 4

ピタゴラスの恒等式を利用して、 $\cot^{2} (u)$ を $- 1 + \csc^{2} (u)$ に書き換えます。

$6 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} - 1 + \csc^{2} (u) d u$

ステップ 5

単一積分を複数積分に分割します。

$6 (\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} - 1 d u + \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \csc^{2} (u) d u)$

ステップ 6

定数の法則を当てはめます。

$6 (- u]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} + \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \csc^{2} (u) d u)$

ステップ 7

$- \cot (u)$ の微分係数が $\csc^{2} (u)$ なので、 $\csc^{2} (u)$ の積分は $- \cot (u)$ です。

$6 (- u]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} + - \cot (u)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}})$

ステップ 8

$- u]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}}$ と $- \cot (u)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}}$ をまとめます。

$6 (- u - \cot (u)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}})$

ステップ 9

$\frac{π}{2}$ および $\frac{π}{6}$ で $- u - \cot (u)$ の値を求めます。

$6 (- \frac{π}{2} - \cot (\frac{π}{2}) - (- \frac{π}{6} - \cot (\frac{π}{6})))$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

$\cot (\frac{π}{2})$ の厳密値は $0$ です。

$6 (- \frac{π}{2} - 0 - (- \frac{π}{6} - \cot (\frac{π}{6})))$

ステップ 10.2

$\cot (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\sqrt{3}$ です。

$6 (- \frac{π}{2} - 0 - (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$

ステップ 10.3

$- 1$ に $0$ をかけます。

$6 (- \frac{π}{2} + 0 - (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$

ステップ 10.4

$- \frac{π}{2}$ と $0$ をたし算します。

$6 (- \frac{π}{2} - (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$

ステップ 10.5

$- (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$6 (- \frac{π}{2} - (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}) \cdot \frac{2}{2})$

ステップ 10.6

$- (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$6 (- \frac{π}{2} + \frac{- (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}) \cdot 2}{2})$

ステップ 10.7

公分母の分子をまとめます。

$6 \frac{- π - (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}) \cdot 2}{2}$

ステップ 10.8

$2$ に $- 1$ をかけます。

$6 \frac{- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})}{2}$

ステップ 10.9

$6$ と $\frac{- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})}{2}$ をまとめます。

$\frac{6 (- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))}{2}$

ステップ 10.10

$6$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.10.1

$2$ を $6 (- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$ で因数分解します。

$\frac{2 (3 (- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})))}{2}$

ステップ 10.10.2

共通因数を約分します。

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ステップ 10.10.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 (3 (- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})))}{2 (1)}$

ステップ 10.10.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (3 (- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})))}{2 \cdot 1}$

ステップ 10.10.2.3

式を書き換えます。

$\frac{3 (- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))}{1}$

ステップ 10.10.2.4

$3 (- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$ を $1$ で割ります。

$3 (- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$

ステップ 11

簡約します。

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ステップ 11.1

分配則を当てはめます。

$3 (- π - 2 (- \frac{π}{6}) - 2 (- \sqrt{3}))$

ステップ 11.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 11.2.1

$- \frac{π}{6}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$3 (- π - 2 \frac{- π}{6} - 2 (- \sqrt{3}))$

ステップ 11.2.2

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$3 (- π + 2 (- 1) \frac{- π}{6} - 2 (- \sqrt{3}))$

ステップ 11.2.3

$2$ を $6$ で因数分解します。

$3 (- π + 2 \cdot - 1 \frac{- π}{2 \cdot 3} - 2 (- \sqrt{3}))$

ステップ 11.2.4

共通因数を約分します。

$3 (- π + 2 \cdot - 1 \frac{- π}{2 \cdot 3} - 2 (- \sqrt{3}))$

ステップ 11.2.5

式を書き換えます。

$3 (- π - \frac{- π}{3} - 2 (- \sqrt{3}))$

ステップ 11.3

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$3 (- π - \frac{- π}{3} + 2 \sqrt{3})$

ステップ 11.4

分数の前に負数を移動させます。

$3 (- π - - \frac{π}{3} + 2 \sqrt{3})$

ステップ 11.5

$- - \frac{π}{3}$ を掛けます。

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ステップ 11.5.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$3 (- π + 1 \frac{π}{3} + 2 \sqrt{3})$

ステップ 11.5.2

$\frac{π}{3}$ に $1$ をかけます。

$3 (- π + \frac{π}{3} + 2 \sqrt{3})$

ステップ 11.6

$- π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$3 (- π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3} + 2 \sqrt{3})$

ステップ 11.7

$- π$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$3 (\frac{- π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3} + 2 \sqrt{3})$

ステップ 11.8

公分母の分子をまとめます。

$3 (\frac{- π \cdot 3 + π}{3} + 2 \sqrt{3})$

ステップ 11.9

$3$ に $- 1$ をかけます。

$3 (\frac{- 3 π + π}{3} + 2 \sqrt{3})$

ステップ 11.10

$- 3 π$ と $π$ をたし算します。

$3 (\frac{- 2 π}{3} + 2 \sqrt{3})$

ステップ 11.11

分数の前に負数を移動させます。

$3 (- \frac{2 π}{3} + 2 \sqrt{3})$

ステップ 11.12

分配則を当てはめます。

$3 (- \frac{2 π}{3}) + 3 (2 \sqrt{3})$

ステップ 11.13

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 11.13.1

$- \frac{2 π}{3}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$3 \frac{- 2 π}{3} + 3 (2 \sqrt{3})$

ステップ 11.13.2

共通因数を約分します。

$3 \frac{- 2 π}{3} + 3 (2 \sqrt{3})$

ステップ 11.13.3

式を書き換えます。

$- 2 π + 3 (2 \sqrt{3})$

ステップ 11.14

$2$ に $3$ をかけます。

$- 2 π + 6 \sqrt{3}$

ステップ 12

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- 2 π + 6 \sqrt{3}$

10進法形式：

$4.10911953 \dots$

微分積分 例

微分積分例