微分積分例

$\int_{π}^{2 π} x \sin (x) d x$

ステップ 1

$u = x$ と $d v = \sin (x)$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$x (- \cos (x))]_{π}^{2 π} - \int_{π}^{2 π} - \cos (x) d x$

ステップ 2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$x (- \cos (x))]_{π}^{2 π} - - \int_{π}^{2 π} \cos (x) d x$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$x (- \cos (x))]_{π}^{2 π} + 1 \int_{π}^{2 π} \cos (x) d x$

ステップ 3.2

$\int_{π}^{2 π} \cos (x) d x$ に $1$ をかけます。

$x (- \cos (x))]_{π}^{2 π} + \int_{π}^{2 π} \cos (x) d x$

ステップ 4

$\cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\sin (x)$ です。

$x (- \cos (x))]_{π}^{2 π} + \sin (x)]_{π}^{2 π}$

ステップ 5

答えを簡約します。

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ステップ 5.1

$x (- \cos (x))]_{π}^{2 π}$ と $\sin (x)]_{π}^{2 π}$ をまとめます。

$x (- \cos (x)) + \sin (x)]_{π}^{2 π}$

ステップ 5.2

代入し簡約します。

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ステップ 5.2.1

$2 π$ および $π$ で $x (- \cos (x)) + \sin (x)$ の値を求めます。

$(2 π (- \cos (2 π)) + \sin (2 π)) - (π (- \cos (π)) + \sin (π))$

ステップ 5.2.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (π (- \cos (π)) + \sin (π))$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.1.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$- 2 π \cos (0) + \sin (2 π) - (π (- \cos (π)) + \sin (π))$

ステップ 6.1.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$- 2 π \cdot 1 + \sin (2 π) - (π (- \cos (π)) + \sin (π))$

ステップ 6.1.3

$- 2$ に $1$ をかけます。

$- 2 π + \sin (2 π) - (π (- \cos (π)) + \sin (π))$

ステップ 6.1.4

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$- 2 π + \sin (0) - (π (- \cos (π)) + \sin (π))$

ステップ 6.1.5

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$- 2 π + 0 - (π (- \cos (π)) + \sin (π))$

ステップ 6.1.6

各項を簡約します。

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ステップ 6.1.6.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$- 2 π + 0 - (π (- - \cos (0)) + \sin (π))$

ステップ 6.1.6.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$- 2 π + 0 - (π (- (- 1 \cdot 1)) + \sin (π))$

ステップ 6.1.6.3

$- (- 1 \cdot 1)$ を掛けます。

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ステップ 6.1.6.3.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 2 π + 0 - (π (- - 1) + \sin (π))$

ステップ 6.1.6.3.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 π + 0 - (π \cdot 1 + \sin (π))$

ステップ 6.1.6.4

$π$ に $1$ をかけます。

$- 2 π + 0 - (π + \sin (π))$

ステップ 6.1.6.5

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$- 2 π + 0 - (π + \sin (0))$

ステップ 6.1.6.6

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$- 2 π + 0 - (π + 0)$

ステップ 6.1.7

$π$ と $0$ をたし算します。

$- 2 π + 0 - π$

ステップ 6.2

$- 2 π$ と $0$ をたし算します。

$- 2 π - π$

ステップ 6.3

$- 2 π$ から $π$ を引きます。

$- 3 π$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- 3 π$

10進法形式：

$- 9.42477796 \dots$

微分積分 例

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