微分積分例

$\int x \sin (x^{2}) \cos (x^{2}) d x$

ステップ 1

$u_{2} = \sin (x^{2})$ とします。次に $d u_{2} = 2 x \cos (x^{2}) d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{2} = x \cos (x^{2}) d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u_{2} = \sin (x^{2})$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$\sin (x^{2})$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\sin (x^{2})]$

ステップ 1.1.2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $x^{2}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.2.2

$u_{1}$ に関する $\sin (u_{1})$ の微分係数は $\cos (u_{1})$ です。

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.3

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 1.1.3.1

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\cos (x^{2}) (2 x)$

ステップ 1.1.3.2

$\cos (x^{2}) (2 x)$ の因数を並べ替えます。

$2 x \cos (x^{2})$

ステップ 1.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int u_{2} \frac{1}{2} d u_{2}$

ステップ 2

$u_{2}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\int \frac{u_{2}}{2} d u_{2}$

ステップ 3

$\frac{1}{2}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int u_{2} d u_{2}$

ステップ 4

べき乗則では、 $u_{2}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ です。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ を $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

ステップ 5.2

簡約します。

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ステップ 5.2.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{1}{2 \cdot 2} {u_{2}}^{2} + C$

ステップ 5.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{4} {u_{2}}^{2} + C$

ステップ 6

$u_{2}$ のすべての発生を $\sin (x^{2})$ で置き換えます。

$\frac{1}{4} \sin^{2} (x^{2}) + C$

微分積分 例

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