微分積分例

$\int x \sin (\frac{1}{4} x) d x$

ステップ 1

$u = x$ と $d v = \sin (\frac{1}{4} x)$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$x (- 4 \cos (\frac{1}{4} x)) - \int - 4 \cos (\frac{1}{4} x) d x$

ステップ 2

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $- 4$ を積分の外に移動させます。

$x (- 4 \cos (\frac{1}{4} x)) - (- 4 \int \cos (\frac{1}{4} x) d x)$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

$\frac{1}{4}$ と $x$ をまとめます。

$x (- 4 \cos (\frac{x}{4})) - (- 4 \int \cos (\frac{1}{4} x) d x)$

ステップ 3.2

$\frac{1}{4}$ と $x$ をまとめます。

$x (- 4 \cos (\frac{x}{4})) - (- 4 \int \cos (\frac{x}{4}) d x)$

ステップ 3.3

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$x (- 4 \cos (\frac{x}{4})) + 4 \int \cos (\frac{x}{4}) d x$

ステップ 4

$u = \frac{x}{4}$ とします。次に $d u = \frac{1}{4} d x$ すると、 $4 d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.1

$u = \frac{x}{4}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 4.1.1

$\frac{x}{4}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]$

ステップ 4.1.2

$\frac{1}{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x}{4}$ の微分係数は $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{4} \cdot 1$

ステップ 4.1.4

$\frac{1}{4}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{4}$

ステップ 4.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$x (- 4 \cos (\frac{x}{4})) + 4 \int \cos (u) \frac{1}{\frac{1}{4}} d u$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{4}$ で割ります。

$x (- 4 \cos (\frac{x}{4})) + 4 \int \cos (u) (1 \cdot 4) d u$

ステップ 5.2

$4$ に $1$ をかけます。

$x (- 4 \cos (\frac{x}{4})) + 4 \int \cos (u) \cdot 4 d u$

ステップ 5.3

$4$ を $\cos (u)$ の左に移動させます。

$x (- 4 \cos (\frac{x}{4})) + 4 \int 4 \cos (u) d u$

ステップ 6

$4$ は $u$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$x (- 4 \cos (\frac{x}{4})) + 4 (4 \int \cos (u) d u)$

ステップ 7

$4$ に $4$ をかけます。

$x (- 4 \cos (\frac{x}{4})) + 16 \int \cos (u) d u$

ステップ 8

$\cos (u)$ の $u$ に関する積分は $\sin (u)$ です。

$x (- 4 \cos (\frac{x}{4})) + 16 (\sin (u) + C)$

ステップ 9

$x (- 4 \cos (\frac{x}{4})) + 16 (\sin (u) + C)$ を $- 4 x \cos (\frac{x}{4}) + 16 \sin (u) + C$ に書き換えます。

$- 4 x \cos (\frac{x}{4}) + 16 \sin (u) + C$

ステップ 10

$u$ のすべての発生を $\frac{x}{4}$ で置き換えます。

$- 4 x \cos (\frac{x}{4}) + 16 \sin (\frac{x}{4}) + C$

ステップ 11

項を並べ替えます。

$- 4 x \cos (\frac{1}{4} x) + 16 \sin (\frac{1}{4} x) + C$

微分積分 例

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