微分積分例

$\int x \cos (e x) d x$

ステップ 1

$u = x$ と $d v = \cos (e x)$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$x (\frac{1}{e} \sin (e x)) - \int \frac{1}{e} \sin (e x) d x$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{e}$ と $\sin (e x)$ をまとめます。

$x \frac{\sin (e x)}{e} - \int \frac{1}{e} \sin (e x) d x$

ステップ 2.2

$x$ と $\frac{\sin (e x)}{e}$ をまとめます。

$\frac{x \sin (e x)}{e} - \int \frac{1}{e} \sin (e x) d x$

ステップ 3

$\frac{1}{e}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{e}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{x \sin (e x)}{e} - (\frac{1}{e} \int \sin (e x) d x)$

ステップ 4

$u = e x$ とします。次に $d u = e d x$ すると、 $\frac{1}{e} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.1

$u = e x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 4.1.1

$e x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [e x]$

ステップ 4.1.2

$e$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $e x$ の微分係数は $e \frac{d}{d x} [x]$ です。

$e \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e \cdot 1$

ステップ 4.1.4

$e$ に $1$ をかけます。

$e$

ステップ 4.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{x \sin (e x)}{e} - \frac{1}{e} \int \sin (u) \frac{1}{e} d u$

ステップ 5

$\sin (u)$ と $\frac{1}{e}$ をまとめます。

$\frac{x \sin (e x)}{e} - \frac{1}{e} \int \frac{\sin (u)}{e} d u$

ステップ 6

$\frac{1}{e}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{e}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{x \sin (e x)}{e} - \frac{1}{e} (\frac{1}{e} \int \sin (u) d u)$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

$\frac{1}{e}$ に $\frac{1}{e}$ をかけます。

$\frac{x \sin (e x)}{e} - \frac{1}{e e} \int \sin (u) d u$

ステップ 7.2

$e$ を $1$ 乗します。

$\frac{x \sin (e x)}{e} - \frac{1}{e^{1} e} \int \sin (u) d u$

ステップ 7.3

$e$ を $1$ 乗します。

$\frac{x \sin (e x)}{e} - \frac{1}{e^{1} e^{1}} \int \sin (u) d u$

ステップ 7.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{x \sin (e x)}{e} - \frac{1}{e^{1 + 1}} \int \sin (u) d u$

ステップ 7.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{x \sin (e x)}{e} - \frac{1}{e^{2}} \int \sin (u) d u$

ステップ 8

$\sin (u)$ の $u$ に関する積分は $- \cos (u)$ です。

$\frac{x \sin (e x)}{e} - \frac{1}{e^{2}} (- \cos (u) + C)$

ステップ 9

$\frac{x \sin (e x)}{e} - \frac{1}{e^{2}} (- \cos (u) + C)$ を $\frac{x \sin (e x)}{e} + \frac{\cos (u)}{e^{2}} + C$ に書き換えます。

$\frac{x \sin (e x)}{e} + \frac{\cos (u)}{e^{2}} + C$

ステップ 10

$u$ のすべての発生を $e x$ で置き換えます。

$\frac{x \sin (e x)}{e} + \frac{\cos (e x)}{e^{2}} + C$

ステップ 11

項を並べ替えます。

$\frac{1}{e} x \sin (e x) + \frac{1}{e^{2}} \cos (e x) + C$

微分積分 例

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