微分積分例

$\int x \ln (x) x d x$

ステップ 1

簡約します。

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ステップ 1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\int x^{1} x \ln (x) d x$

ステップ 1.2

$x$ を $1$ 乗します。

$\int x^{1} x^{1} \ln (x) d x$

ステップ 1.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int x^{1 + 1} \ln (x) d x$

ステップ 1.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int x^{2} \ln (x) d x$

ステップ 2

$u = \ln (x)$ と $d v = x^{2}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\ln (x) (\frac{1}{3} x^{3}) - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

$\frac{1}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$\ln (x) \frac{x^{3}}{3} - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

ステップ 3.2

$\ln (x)$ と $\frac{x^{3}}{3}$ をまとめます。

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

ステップ 4

$\frac{1}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int x^{3} \frac{1}{x} d x)$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$x^{3}$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x^{3}}{x} d x)$

ステップ 5.2

$x^{3}$ と $x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1

$x$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x \cdot x^{2}}{x} d x)$

ステップ 5.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x \cdot x^{2}}{x^{1}} d x)$

ステップ 5.2.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} d x)$

ステップ 5.2.2.3

共通因数を約分します。

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} d x)$

ステップ 5.2.2.4

式を書き換えます。

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x^{2}}{1} d x)$

ステップ 5.2.2.5

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int x^{2} d x)$

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} \int x^{2} d x$

ステップ 6

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

ステップ 7

答えを簡約します。

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ステップ 7.1

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ を $\frac{1}{3} \ln (x) x^{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C$ に書き換えます。

$\frac{1}{3} \ln (x) x^{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C$

ステップ 7.2

簡約します。

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ステップ 7.2.1

$\frac{1}{3}$ と $\ln (x)$ をまとめます。

$\frac{\ln (x)}{3} x^{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C$

ステップ 7.2.2

$\frac{\ln (x)}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C$

ステップ 7.2.3

$\frac{1}{3}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} x^{3} + C$

ステップ 7.2.4

$3$ に $3$ をかけます。

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{9} x^{3} + C$

ステップ 7.3

$x^{3}$ と $\frac{1}{9}$ をまとめます。

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9} + C$

ステップ 7.4

項を並べ替えます。

$\frac{1}{3} \ln (x) x^{3} - \frac{1}{9} x^{3} + C$

微分積分 例

微分積分例