微分積分例

$\int y {(y^{4} - 2 y^{3} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} d y$

ステップ 1

簡約します。

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ステップ 1.1

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 1.1.1

$y^{4}$ を ${(y^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$\int y {({(y^{2})}^{2} - 2 y^{3} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} d y$

ステップ 1.1.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$2 y^{3} = 2 \cdot y^{2} \cdot y$

ステップ 1.1.3

多項式を書き換えます。

$\int y {({(y^{2})}^{2} - 2 \cdot y^{2} \cdot y + y^{2})}^{\frac{1}{2}} d y$

ステップ 1.1.4

$a = y^{2}$ と $b = y$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$\int y {({(y^{2} - y)}^{2})}^{\frac{1}{2}} d y$

ステップ 1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int y {(y^{2} - y)}^{2 (\frac{1}{2})} d y$

ステップ 1.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.1

共通因数を約分します。

$\int y {(y^{2} - y)}^{2 (\frac{1}{2})} d y$

ステップ 1.3.2

式を書き換えます。

$\int y {(y^{2} - y)}^{1} d y$

ステップ 1.4

簡約します。

$\int y (y^{2} - y) d y$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

分配則を当てはめます。

$\int y \cdot y^{2} + y (- y) d y$

ステップ 2.2

$y$ と $- 1$ を並べ替えます。

$\int y \cdot y^{2} - 1 \cdot y \cdot y d y$

ステップ 2.3

$y$ を $1$ 乗します。

$\int y^{1} y^{2} - 1 y \cdot y d y$

ステップ 2.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int y^{1 + 2} - 1 y \cdot y d y$

ステップ 2.5

$1$ と $2$ をたし算します。

$\int y^{3} - 1 y \cdot y d y$

ステップ 2.6

負をくくり出します。

$\int y^{3} - (y \cdot y) d y$

ステップ 2.7

$y$ を $1$ 乗します。

$\int y^{3} - (y^{1} y) d y$

ステップ 2.8

$y$ を $1$ 乗します。

$\int y^{3} - (y^{1} y^{1}) d y$

ステップ 2.9

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int y^{3} - y^{1 + 1} d y$

ステップ 2.10

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int y^{3} - y^{2} d y$

ステップ 3

単一積分を複数積分に分割します。

$\int y^{3} d y + \int - y^{2} d y$

ステップ 4

べき乗則では、 $y^{3}$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{4} y^{4}$ です。

$\frac{1}{4} y^{4} + C + \int - y^{2} d y$

ステップ 5

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{4} y^{4} + C - \int y^{2} d y$

ステップ 6

べき乗則では、 $y^{2}$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{3} y^{3}$ です。

$\frac{1}{4} y^{4} + C - (\frac{1}{3} y^{3} + C)$

ステップ 7

簡約します。

$\frac{1}{4} y^{4} - \frac{1}{3} y^{3} + C$

微分積分 例

微分積分例