微分積分例

$\int t \ln (t) d t$

ステップ 1

$u = \ln (t)$ と $d v = t$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\ln (t) (\frac{1}{2} t^{2}) - \int \frac{1}{2} t^{2} \frac{1}{t} d t$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{2}$ と $t^{2}$ をまとめます。

$\ln (t) \frac{t^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} t^{2} \frac{1}{t} d t$

ステップ 2.2

$\ln (t)$ と $\frac{t^{2}}{2}$ をまとめます。

$\frac{\ln (t) t^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} t^{2} \frac{1}{t} d t$

ステップ 3

$\frac{1}{2}$ は $t$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{\ln (t) t^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int t^{2} \frac{1}{t} d t)$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

$t^{2}$ と $\frac{1}{t}$ をまとめます。

$\frac{\ln (t) t^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{t^{2}}{t} d t)$

ステップ 4.2

$t^{2}$ と $t$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1

$t$ を $t^{2}$ で因数分解します。

$\frac{\ln (t) t^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{t \cdot t}{t} d t)$

ステップ 4.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.2.1

$t$ を $1$ 乗します。

$\frac{\ln (t) t^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{t \cdot t}{t^{1}} d t)$

ステップ 4.2.2.2

$t$ を $t^{1}$ で因数分解します。

$\frac{\ln (t) t^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{t \cdot t}{t \cdot 1} d t)$

ステップ 4.2.2.3

共通因数を約分します。

$\frac{\ln (t) t^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{t \cdot t}{t \cdot 1} d t)$

ステップ 4.2.2.4

式を書き換えます。

$\frac{\ln (t) t^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{t}{1} d t)$

ステップ 4.2.2.5

$t$ を $1$ で割ります。

$\frac{\ln (t) t^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int t d t)$

$\frac{\ln (t) t^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int t d t$

ステップ 5

べき乗則では、 $t$ の $t$ に関する積分は $\frac{1}{2} t^{2}$ です。

$\frac{\ln (t) t^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C)$

ステップ 6

答えを簡約します。

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ステップ 6.1

$\frac{\ln (t) t^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C)$ を $\frac{1}{2} \ln (t) t^{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} t^{2} + C$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} \ln (t) t^{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} t^{2} + C$

ステップ 6.2

簡約します。

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ステップ 6.2.1

$\frac{1}{2}$ と $\ln (t)$ をまとめます。

$\frac{\ln (t)}{2} t^{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} t^{2} + C$

ステップ 6.2.2

$\frac{\ln (t)}{2}$ と $t^{2}$ をまとめます。

$\frac{\ln (t) t^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} t^{2} + C$

ステップ 6.2.3

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{\ln (t) t^{2}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} t^{2} + C$

ステップ 6.2.4

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{\ln (t) t^{2}}{2} - \frac{1}{4} t^{2} + C$

ステップ 6.3

$t^{2}$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$\frac{\ln (t) t^{2}}{2} - \frac{t^{2}}{4} + C$

ステップ 6.4

項を並べ替えます。

$\frac{1}{2} \ln (t) t^{2} - \frac{1}{4} t^{2} + C$

微分積分 例

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