微分積分例

$\int x \sqrt{3 x - 4} d x$

ステップ 1

$u = x$ と $d v = \sqrt{3 x - 4}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$x (\frac{2}{9} {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{9} {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}} d x$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

$\frac{2}{9}$ と ${(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$x \frac{2 {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}}}{9} - \int \frac{2}{9} {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}} d x$

ステップ 2.2

$x$ と $\frac{2 {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}}}{9}$ をまとめます。

$\frac{x (2 {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \int \frac{2}{9} {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}} d x$

ステップ 3

$\frac{2}{9}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{2}{9}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{x (2 {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{9} - (\frac{2}{9} \int {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}} d x)$

ステップ 4

$u = 3 x - 4$ とします。次に $d u = 3 d x$ すると、 $\frac{1}{3} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.1

$u = 3 x - 4$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 4.1.1

$3 x - 4$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [3 x - 4]$

ステップ 4.1.2

総和則では、 $3 x - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 4.1.3

$\frac{d}{d x} [3 x]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1.3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 4.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 4.1.3.3

$3$ に $1$ をかけます。

$3 + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 4.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 4.1.4.1

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$3 + 0$

ステップ 4.1.4.2

$3$ と $0$ をたし算します。

$3$

ステップ 4.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{x (2 {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{2}{9} \int u^{\frac{3}{2}} \frac{1}{3} d u$

ステップ 5

$u^{\frac{3}{2}}$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{x (2 {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{2}{9} \int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{3} d u$

ステップ 6

$\frac{1}{3}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{x (2 {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{2}{9} (\frac{1}{3} \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

$\frac{1}{3}$ に $\frac{2}{9}$ をかけます。

$\frac{x (2 {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{2}{3 \cdot 9} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

ステップ 7.2

$3$ に $9$ をかけます。

$\frac{x (2 {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{2}{27} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

ステップ 8

べき乗則では、 $u^{\frac{3}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ です。

$\frac{x (2 {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{2}{27} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

$\frac{x (2 {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{2}{27} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$ を $\frac{2}{9} x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{27} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$ に書き換えます。

$\frac{2}{9} x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{27} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

ステップ 9.2

簡約します。

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ステップ 9.2.1

$\frac{2}{9}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{2 x}{9} {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{27} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

ステップ 9.2.2

$\frac{2 x}{9}$ と ${(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$\frac{2 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}}}{9} - \frac{2}{27} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

ステップ 9.2.3

$\frac{2}{5}$ に $\frac{2}{27}$ をかけます。

$\frac{2 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}}}{9} - \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 27} u^{\frac{5}{2}} + C$

ステップ 9.2.4

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{2 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}}}{9} - \frac{4}{5 \cdot 27} u^{\frac{5}{2}} + C$

ステップ 9.2.5

$5$ に $27$ をかけます。

$\frac{2 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}}}{9} - \frac{4}{135} u^{\frac{5}{2}} + C$

ステップ 9.2.6

$- \frac{4}{135} u^{\frac{5}{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{9}{9}$ を掛けます。

$\frac{2 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}}}{9} - \frac{4}{135} u^{\frac{5}{2}} \cdot \frac{9}{9} + C$

ステップ 9.2.7

$- \frac{4}{135} u^{\frac{5}{2}}$ と $\frac{9}{9}$ をまとめます。

$\frac{2 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}}}{9} + \frac{- \frac{4}{135} u^{\frac{5}{2}} \cdot 9}{9} + C$

ステップ 9.2.8

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{135} u^{\frac{5}{2}} \cdot 9}{9} + C$

ステップ 9.2.9

$u^{\frac{5}{2}}$ と $\frac{4}{135}$ をまとめます。

$\frac{2 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}} - \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 4}{135} \cdot 9}{9} + C$

ステップ 9.2.10

$9$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}} - 9 \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 4}{135}}{9} + C$

ステップ 9.2.11

$- 9$ と $\frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 4}{135}$ をまとめます。

$\frac{2 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 9 (u^{\frac{5}{2}} \cdot 4)}{135}}{9} + C$

ステップ 9.2.12

$4$ に $- 9$ をかけます。

$\frac{2 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 36 u^{\frac{5}{2}}}{135}}{9} + C$

ステップ 9.2.13

$9$ を $- 36 u^{\frac{5}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{2 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}} + \frac{9 (- 4 u^{\frac{5}{2}})}{135}}{9} + C$

ステップ 9.2.14

共通因数を約分します。

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ステップ 9.2.14.1

$9$ を $135$ で因数分解します。

$\frac{2 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}} + \frac{9 (- 4 u^{\frac{5}{2}})}{9 (15)}}{9} + C$

ステップ 9.2.14.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}} + \frac{9 (- 4 u^{\frac{5}{2}})}{9 \cdot 15}}{9} + C$

ステップ 9.2.14.3

式を書き換えます。

$\frac{2 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 4 u^{\frac{5}{2}}}{15}}{9} + C$

ステップ 9.2.15

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{2 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{15}}{9} + C$

ステップ 9.2.16

$2 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{15}{15}$ を掛けます。

$\frac{2 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{15}{15} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{15}}{9} + C$

ステップ 9.2.17

$2 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}}$ と $\frac{15}{15}$ をまとめます。

$\frac{\frac{2 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}} \cdot 15}{15} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{15}}{9} + C$

ステップ 9.2.18

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{2 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}} \cdot 15 - 4 u^{\frac{5}{2}}}{15}}{9} + C$

ステップ 9.2.19

$15$ に $2$ をかけます。

$\frac{\frac{30 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{15}}{9} + C$

ステップ 9.2.20

$\frac{\frac{30 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{15}}{9}$ を積として書き換えます。

$\frac{30 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{15} \cdot \frac{1}{9} + C$

ステップ 9.2.21

$\frac{30 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{15}$ に $\frac{1}{9}$ をかけます。

$\frac{30 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{15 \cdot 9} + C$

ステップ 9.2.22

$15$ に $9$ をかけます。

$\frac{30 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{135} + C$

ステップ 10

$u$ のすべての発生を $3 x - 4$ で置き換えます。

$\frac{30 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}} - 4 {(3 x - 4)}^{\frac{5}{2}}}{135} + C$

ステップ 11

項を並べ替えます。

$\frac{1}{135} (30 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}} - 4 {(3 x - 4)}^{\frac{5}{2}}) + C$

微分積分 例

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