微分積分例

$\int x \sqrt[3]{81 + x^{2}} d x$

ステップ 1

$u = 81 + x^{2}$ とします。次に $d u = 2 x d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = x d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = 81 + x^{2}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$81 + x^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [81 + x^{2}]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $81 + x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [81] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [81] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.3

$81$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $81$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 2 x$

ステップ 1.1.5

$0$ と $2 x$ をたし算します。

$2 x$

ステップ 1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \sqrt[3]{u} \frac{1}{2} d u$

ステップ 2

$\sqrt[3]{u}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\int \frac{\sqrt[3]{u}}{2} d u$

ステップ 3

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int \sqrt[3]{u} d u$

ステップ 4

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{u}$ を $u^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{3}} d u$

ステップ 5

べき乗則では、 $u^{\frac{1}{3}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ です。

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C)$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C)$ を $\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$

ステップ 6.2

簡約します。

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ステップ 6.2.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{3}{4}$ をかけます。

$\frac{3}{2 \cdot 4} u^{\frac{4}{3}} + C$

ステップ 6.2.2

$2$ に $4$ をかけます。

$\frac{3}{8} u^{\frac{4}{3}} + C$

ステップ 7

$u$ のすべての発生を $81 + x^{2}$ で置き換えます。

$\frac{3}{8} {(81 + x^{2})}^{\frac{4}{3}} + C$

微分積分 例

微分積分例