微分積分例

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} 8 \cos (2 x) d x$

ステップ 1

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $8$ を積分の外に移動させます。

$8 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos (2 x) d x$

ステップ 2

$u = 2 x$ とします。次に $d u = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u = 2 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 2.1.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 2.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 2.2

$u = 2 x$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

ステップ 2.3

$2$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 0$

ステップ 2.4

$u = 2 x$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{4}$

ステップ 2.5

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.5.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (2)}$

ステップ 2.5.2

共通因数を約分します。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.5.3

式を書き換えます。

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

ステップ 2.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

ステップ 2.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$8 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) \frac{1}{2} d u$

ステップ 3

$\cos (u)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$8 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (u)}{2} d u$

ステップ 4

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$8 (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) d u)$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$\frac{1}{2}$ と $8$ をまとめます。

$\frac{8}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) d u$

ステップ 5.2

$8$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1

$2$ を $8$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 4}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) d u$

ステップ 5.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 4}{2 (1)} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) d u$

ステップ 5.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) d u$

ステップ 5.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{4}{1} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) d u$

ステップ 5.2.2.4

$4$ を $1$ で割ります。

$4 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) d u$

ステップ 6

$\cos (u)$ の $u$ に関する積分は $\sin (u)$ です。

$4 (\sin (u)]_{0}^{\frac{π}{2}})$

ステップ 7

$\frac{π}{2}$ および $0$ で $\sin (u)$ の値を求めます。

$4 (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0))$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$4 (1 - \sin (0))$

ステップ 8.2

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$4 (1 - 0)$

ステップ 8.3

$- 1$ に $0$ をかけます。

$4 (1 + 0)$

ステップ 8.4

$1$ と $0$ をたし算します。

$4 \cdot 1$

ステップ 8.5

$4$ に $1$ をかけます。

$4$

微分積分 例

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