微分積分例

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} 4 \sin (x) \cos (x) d x$

ステップ 1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$4 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sin (x) \cos (x) d x$

ステップ 2

$u = \sin (x)$ とします。次に $d u = \cos (x) d x$ すると、 $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u = \sin (x)$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$\sin (x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 2.1.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$\cos (x)$

ステップ 2.2

$u = \sin (x)$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = \sin (0)$

ステップ 2.3

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$u_{lower} = 0$

ステップ 2.4

$u = \sin (x)$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{4})$

ステップ 2.5

$\sin (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$u_{upper} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 2.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 2.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$4 \int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} u d u$

ステップ 3

べき乗則では、 $u$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{2} u^{2}$ です。

$4 (\frac{1}{2} u^{2}]_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}})$

ステップ 4

$\frac{1}{2}$ と $u^{2}$ をまとめます。

$4 (\frac{u^{2}}{2}]_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}})$

ステップ 5

代入し簡約します。

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ステップ 5.1

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ および $0$ で $\frac{u^{2}}{2}$ の値を求めます。

$4 ((\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

ステップ 5.2

簡約します。

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ステップ 5.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$4 (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2} - \frac{0}{2})$

ステップ 5.2.2

$0$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.1

$2$ を $0$ で因数分解します。

$4 (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

ステップ 5.2.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$4 (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

ステップ 5.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$4 (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

ステップ 5.2.2.2.3

式を書き換えます。

$4 (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2} - \frac{0}{1})$

ステップ 5.2.2.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$4 (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2} - 0)$

ステップ 5.2.3

$- 1$ に $0$ をかけます。

$4 (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2} + 0)$

ステップ 5.2.4

$\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2}$ と $0$ をたし算します。

$4 \frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2}$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.1.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$2 (2) \frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2}$

ステップ 6.1.2

共通因数を約分します。

$2 \cdot 2 \frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2}$

ステップ 6.1.3

式を書き換えます。

$2 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

ステップ 6.2

積の法則を $\frac{\sqrt{2}}{2}$ に当てはめます。

$2 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}$

ステップ 6.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.1

$2$ を $2^{2}$ で因数分解します。

$2 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2}$

ステップ 6.3.2

共通因数を約分します。

$2 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2}$

ステップ 6.3.3

式を書き換えます。

$\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2}$

ステップ 6.4

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 6.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}$

ステップ 6.4.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}$

ステップ 6.4.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{2^{\frac{2}{2}}}{2}$

ステップ 6.4.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.4.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{2^{\frac{2}{2}}}{2}$

ステップ 6.4.4.2

式を書き換えます。

$\frac{2^{1}}{2}$

ステップ 6.4.5

指数を求めます。

$\frac{2}{2}$

ステップ 6.5

$2$ を $2$ で割ります。

$1$

微分積分 例

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