微分積分例

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} 2 \sin (π - x) d x$

ステップ 1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sin (π - x) d x$

ステップ 2

$u = π - x$ とします。次に $d u = - d x$ すると、 $- d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$u = π - x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$π - x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [π - x]$

ステップ 2.1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

総和則では、 $π - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [π] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$\frac{d}{d x} [π] + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 2.1.2.2

$π$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $π$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 2.1.3

$\frac{d}{d x} [- x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - 1 \cdot 1$

ステップ 2.1.3.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$0 - 1$

ステップ 2.1.4

$0$ から $1$ を引きます。

$- 1$

ステップ 2.2

$u = π - x$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = π - 0$

ステップ 2.3

$π$ から $0$ を引きます。

$u_{lower} = π$

ステップ 2.4

$u = π - x$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = π - \frac{π}{4}$

ステップ 2.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$u_{upper} = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

ステップ 2.5.2

$π$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$u_{upper} = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

ステップ 2.5.3

公分母の分子をまとめます。

$u_{upper} = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

ステップ 2.5.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.4.1

$4$ を $π$ の左に移動させます。

$u_{upper} = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

ステップ 2.5.4.2

$4 π$ から $π$ を引きます。

$u_{upper} = \frac{3 π}{4}$

ステップ 2.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = π$

$u_{upper} = \frac{3 π}{4}$

ステップ 2.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$2 \int_{π}^{\frac{3 π}{4}} - \sin (u) d u$

ステップ 3

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$2 (- \int_{π}^{\frac{3 π}{4}} \sin (u) d u)$

ステップ 4

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 2 \int_{π}^{\frac{3 π}{4}} \sin (u) d u$

ステップ 5

$\sin (u)$ の $u$ に関する積分は $- \cos (u)$ です。

$- 2 (- \cos (u)]_{π}^{\frac{3 π}{4}})$

ステップ 6

$\frac{3 π}{4}$ および $π$ で $- \cos (u)$ の値を求めます。

$- 2 (- \cos (\frac{3 π}{4}) + \cos (π))$

ステップ 7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$- 2 (- - \cos (\frac{π}{4}) + \cos (π))$

ステップ 7.1.2

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$- 2 (- - \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (π))$

ステップ 7.1.3

$- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 (1 \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (π))$

ステップ 7.1.3.2

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ に $1$ をかけます。

$- 2 (\frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (π))$

ステップ 7.1.4

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$- 2 (\frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (0))$

ステップ 7.1.5

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$- 2 (\frac{\sqrt{2}}{2} - 1 \cdot 1)$

ステップ 7.1.6

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 2 (\frac{\sqrt{2}}{2} - 1)$

ステップ 7.2

分配則を当てはめます。

$- 2 \frac{\sqrt{2}}{2} - 2 \cdot - 1$

ステップ 7.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$2 (- 1) \frac{\sqrt{2}}{2} - 2 \cdot - 1$

ステップ 7.3.2

共通因数を約分します。

$2 \cdot - 1 \frac{\sqrt{2}}{2} - 2 \cdot - 1$

ステップ 7.3.3

式を書き換えます。

$- \sqrt{2} - 2 \cdot - 1$

ステップ 7.4

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$- \sqrt{2} + 2$

ステップ 8

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- \sqrt{2} + 2$

10進法形式：

$0.58578643 \dots$

微分積分 例

微分積分例