微分積分例

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} 2 \tan (x) \sec^{2} (x) d x$

ステップ 1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan (x) \sec^{2} (x) d x$

ステップ 2

$u = \sec (x)$ とします。次に $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ すると、 $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u = \sec (x)$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$\sec (x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

ステップ 2.1.2

$x$ に関する $\sec (x)$ の微分係数は $\sec (x) \tan (x)$ です。

$\sec (x) \tan (x)$

ステップ 2.2

$u = \sec (x)$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = \sec (0)$

ステップ 2.3

$\sec (0)$ の厳密値は $1$ です。

$u_{lower} = 1$

ステップ 2.4

$u = \sec (x)$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = \sec (\frac{π}{4})$

ステップ 2.5

簡約します。

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ステップ 2.5.1

$\sec (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{2}{\sqrt{2}}$ です。

$u_{upper} = \frac{2}{\sqrt{2}}$

ステップ 2.5.2

$\frac{2}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$u_{upper} = \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

ステップ 2.5.3

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 2.5.3.1

$\frac{2}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

ステップ 2.5.3.2

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

ステップ 2.5.3.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

ステップ 2.5.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

ステップ 2.5.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

ステップ 2.5.3.6

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 2.5.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 2.5.3.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 2.5.3.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 2.5.3.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.5.3.6.4.1

共通因数を約分します。

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 2.5.3.6.4.2

式を書き換えます。

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}}$

ステップ 2.5.3.6.5

指数を求めます。

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

ステップ 2.5.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.5.4.1

共通因数を約分します。

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

ステップ 2.5.4.2

$\sqrt{2}$ を $1$ で割ります。

$u_{upper} = \sqrt{2}$

ステップ 2.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \sqrt{2}$

ステップ 2.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$2 \int_{1}^{\sqrt{2}} u d u$

ステップ 3

べき乗則では、 $u$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{2} u^{2}$ です。

$2 (\frac{1}{2} u^{2}]_{1}^{\sqrt{2}})$

ステップ 4

$\frac{1}{2}$ と $u^{2}$ をまとめます。

$2 (\frac{u^{2}}{2}]_{1}^{\sqrt{2}})$

ステップ 5

代入し簡約します。

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ステップ 5.1

$\sqrt{2}$ および $1$ で $\frac{u^{2}}{2}$ の値を求めます。

$2 ((\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

ステップ 5.2

簡約します。

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ステップ 5.2.1

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 5.2.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$2 (\frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

ステップ 5.2.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$2 (\frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

ステップ 5.2.1.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$2 (\frac{2^{\frac{2}{2}}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

ステップ 5.2.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1.4.1

共通因数を約分します。

$2 (\frac{2^{\frac{2}{2}}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

ステップ 5.2.1.4.2

式を書き換えます。

$2 (\frac{2^{1}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

ステップ 5.2.1.5

指数を求めます。

$2 (\frac{2}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

ステップ 5.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.1

共通因数を約分します。

$2 (\frac{2}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

ステップ 5.2.2.2

式を書き換えます。

$2 (1 - \frac{1^{2}}{2})$

ステップ 5.2.3

1のすべての数の累乗は1です。

$2 (1 - \frac{1}{2})$

ステップ 5.2.4

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$2 (\frac{2}{2} - \frac{1}{2})$

ステップ 5.2.5

公分母の分子をまとめます。

$2 \frac{2 - 1}{2}$

ステップ 5.2.6

$2$ から $1$ を引きます。

$2 (\frac{1}{2})$

ステップ 5.2.7

$2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{2}{2}$

ステップ 5.2.8

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.8.1

共通因数を約分します。

$\frac{2}{2}$

ステップ 5.2.8.2

式を書き換えます。

$1$

微分積分 例

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