微分積分例

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \cos^{- 5} (2 x) \sin (2 x) d x$

ステップ 1

$u_{2} = \cos (2 x)$ とします。次に $d u_{2} = - 2 \sin (2 x) d x$ すると、 $- \frac{1}{2} d u_{2} = \sin (2 x) d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u_{2} = \cos (2 x)$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$\cos (2 x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

ステップ 1.1.2

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $2 x$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.1.2.2

$u_{1}$ に関する $\cos (u_{1})$ の微分係数は $- \sin (u_{1})$ です。

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.1.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.1.3

微分します。

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ステップ 1.1.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.1.3.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 \sin (2 x) \cdot 1$

ステップ 1.1.3.4

$- 2$ に $1$ をかけます。

$- 2 \sin (2 x)$

ステップ 1.2

$u_{2} = \cos (2 x)$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = \cos (2 \cdot 0)$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

$2$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = \cos (0)$

ステップ 1.3.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$u_{lower} = 1$

ステップ 1.4

$u_{2} = \cos (2 x)$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = \cos (2 \frac{π}{6})$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.1.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$u_{upper} = \cos (2 \frac{π}{2 (3)})$

ステップ 1.5.1.2

共通因数を約分します。

$u_{upper} = \cos (2 \frac{π}{2 \cdot 3})$

ステップ 1.5.1.3

式を書き換えます。

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{3})$

ステップ 1.5.2

$\cos (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

ステップ 1.7

$u_{2}$ 、 $d u_{2}$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{1}^{\frac{1}{2}} {u_{2}}^{- 5} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

分数の前に負数を移動させます。

$\int_{1}^{\frac{1}{2}} {u_{2}}^{- 5} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

ステップ 2.2

${u_{2}}^{- 5}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\int_{1}^{\frac{1}{2}} - \frac{{u_{2}}^{- 5}}{2} d u_{2}$

ステップ 2.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${u_{2}}^{- 5}$ を分母に移動させます。

$\int_{1}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2 {u_{2}}^{5}} d u_{2}$

ステップ 3

$- 1$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int_{1}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 {u_{2}}^{5}} d u_{2}$

ステップ 4

$\frac{1}{2}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$- (\frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{{u_{2}}^{5}} d u_{2})$

ステップ 5

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 5.1

${u_{2}}^{5}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{1}{2}} {({u_{2}}^{5})}^{- 1} d u_{2}$

ステップ 5.2

${({u_{2}}^{5})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 5.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{1}{2}} {u_{2}}^{5 \cdot - 1} d u_{2}$

ステップ 5.2.2

$5$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{1}{2}} {u_{2}}^{- 5} d u_{2}$

ステップ 6

べき乗則では、 ${u_{2}}^{- 5}$ の $u_{2}$ に関する積分は $- \frac{1}{4} {u_{2}}^{- 4}$ です。

$- \frac{1}{2} - \frac{1}{4} {u_{2}}^{- 4}]_{1}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 7

代入し簡約します。

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ステップ 7.1

$\frac{1}{2}$ および $1$ で $- \frac{1}{4} {u_{2}}^{- 4}$ の値を求めます。

$- \frac{1}{2} ((- \frac{1}{4} {(\frac{1}{2})}^{- 4}) + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

ステップ 7.2

簡約します。

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ステップ 7.2.1

底を逆数に書き換えて、指数の符号を変更します。

$- \frac{1}{2} (- \frac{1}{4} \cdot 2^{4} + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

ステップ 7.2.2

$2$ を $4$ 乗します。

$- \frac{1}{2} (- \frac{1}{4} \cdot 16 + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

ステップ 7.2.3

$16$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{1}{2} (- 16 (\frac{1}{4}) + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

ステップ 7.2.4

$- 16$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$- \frac{1}{2} (\frac{- 16}{4} + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

ステップ 7.2.5

$- 16$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.5.1

$4$ を $- 16$ で因数分解します。

$- \frac{1}{2} (\frac{4 \cdot - 4}{4} + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

ステップ 7.2.5.2

共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.5.2.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$- \frac{1}{2} (\frac{4 \cdot - 4}{4 (1)} + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

ステップ 7.2.5.2.2

共通因数を約分します。

$- \frac{1}{2} (\frac{4 \cdot - 4}{4 \cdot 1} + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

ステップ 7.2.5.2.3

式を書き換えます。

$- \frac{1}{2} (\frac{- 4}{1} + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

ステップ 7.2.5.2.4

$- 4$ を $1$ で割ります。

$- \frac{1}{2} (- 4 + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

ステップ 7.2.6

1のすべての数の累乗は1です。

$- \frac{1}{2} (- 4 + \frac{1}{4} \cdot 1)$

ステップ 7.2.7

$\frac{1}{4}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{1}{2} (- 4 + \frac{1}{4})$

ステップ 7.2.8

$- 4$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$- \frac{1}{2} (- 4 \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4})$

ステップ 7.2.9

$- 4$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$- \frac{1}{2} (\frac{- 4 \cdot 4}{4} + \frac{1}{4})$

ステップ 7.2.10

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{- 4 \cdot 4 + 1}{4}$

ステップ 7.2.11

分子を簡約します。

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ステップ 7.2.11.1

$- 4$ に $4$ をかけます。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{- 16 + 1}{4}$

ステップ 7.2.11.2

$- 16$ と $1$ をたし算します。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{- 15}{4}$

ステップ 7.2.12

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{2} (- \frac{15}{4})$

ステップ 7.2.13

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 (\frac{1}{2}) \frac{15}{4}$

ステップ 7.2.14

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{15}{4}$

ステップ 7.2.15

$\frac{1}{2}$ に $\frac{15}{4}$ をかけます。

$\frac{15}{2 \cdot 4}$

ステップ 7.2.16

$2$ に $4$ をかけます。

$\frac{15}{8}$

ステップ 8

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{15}{8}$

10進法形式：

$1.875$

帯分数形：

$1 \frac{7}{8}$

微分積分 例

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