微分積分例

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} x \cos (2 x) d x$

ステップ 1

$u = x$ と $d v = \cos (2 x)$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$x (\frac{1}{2} \sin (2 x))]_{0}^{\frac{π}{4}} - \int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{2} \sin (2 x) d x$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{2}$ と $\sin (2 x)$ をまとめます。

$x \frac{\sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} - \int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{2} \sin (2 x) d x$

ステップ 2.2

$x$ と $\frac{\sin (2 x)}{2}$ をまとめます。

$\frac{x \sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} - \int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{2} \sin (2 x) d x$

ステップ 3

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{x \sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sin (2 x) d x)$

ステップ 4

$u = 2 x$ とします。次に $d u = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.1

$u = 2 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 4.1.1

$2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 4.1.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 4.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 4.2

$u = 2 x$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

ステップ 4.3

$2$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 0$

ステップ 4.4

$u = 2 x$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{4}$

ステップ 4.5

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.5.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (2)}$

ステップ 4.5.2

共通因数を約分します。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

ステップ 4.5.3

式を書き換えます。

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

ステップ 4.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

ステップ 4.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\frac{x \sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} - \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (u) \frac{1}{2} d u$

ステップ 5

$\sin (u)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{x \sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} - \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin (u)}{2} d u$

ステップ 6

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{x \sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (u) d u)$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{x \sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (u) d u$

ステップ 7.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{x \sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} - \frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (u) d u$

ステップ 8

$\sin (u)$ の $u$ に関する積分は $- \cos (u)$ です。

$\frac{x \sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} - \frac{1}{4} - \cos (u)]_{0}^{\frac{π}{2}}$

ステップ 9

代入し簡約します。

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ステップ 9.1

$\frac{π}{4}$ および $0$ で $\frac{x \sin (2 x)}{2}$ の値を求めます。

$(\frac{\frac{π}{4} \sin (2 \frac{π}{4})}{2}) - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} - \cos (u)]_{0}^{\frac{π}{2}}$

ステップ 9.2

$\frac{π}{2}$ および $0$ で $- \cos (u)$ の値を求めます。

$(\frac{\frac{π}{4} \sin (2 \frac{π}{4})}{2}) - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

ステップ 9.3

簡約します。

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ステップ 9.3.1

$2$ と $\frac{π}{4}$ をまとめます。

$\frac{\frac{π}{4} \sin (\frac{2 π}{4})}{2} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

ステップ 9.3.2

$2$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.3.2.1

$2$ を $2 π$ で因数分解します。

$\frac{\frac{π}{4} \sin (\frac{2 (π)}{4})}{2} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

ステップ 9.3.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 9.3.2.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{\frac{π}{4} \sin (\frac{2 π}{2 \cdot 2})}{2} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

ステップ 9.3.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{π}{4} \sin (\frac{2 π}{2 \cdot 2})}{2} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

ステップ 9.3.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{\frac{π}{4} \sin (\frac{π}{2})}{2} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

ステップ 9.3.3

$\frac{π}{4}$ と $\sin (\frac{π}{2})$ をまとめます。

$\frac{\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{4}}{2} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

ステップ 9.3.4

$\frac{\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{4}}{2}$ を積として書き換えます。

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{4} \cdot \frac{1}{2} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

ステップ 9.3.5

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{4}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{4 \cdot 2} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

ステップ 9.3.6

$4$ に $2$ をかけます。

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

ステップ 9.3.7

$2$ に $0$ をかけます。

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8} - \frac{0 \sin (0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

ステップ 9.3.8

$0$ に $\sin (0)$ をかけます。

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8} - \frac{0}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

ステップ 9.3.9

$0$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.3.9.1

$2$ を $0$ で因数分解します。

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8} - \frac{2 (0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

ステップ 9.3.9.2

共通因数を約分します。

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ステップ 9.3.9.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

ステップ 9.3.9.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

ステップ 9.3.9.2.3

式を書き換えます。

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8} - \frac{0}{1} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

ステップ 9.3.9.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8} - 0 - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

ステップ 9.3.10

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8} + 0 - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

ステップ 9.3.11

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

ステップ 9.3.12

$- \frac{1}{4} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{8}{8}$ を掛けます。

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8} - \frac{1}{4} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) \cdot \frac{8}{8}$

ステップ 9.3.13

$- \frac{1}{4} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$ と $\frac{8}{8}$ をまとめます。

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8} + \frac{- \frac{1}{4} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) \cdot 8}{8}$

ステップ 9.3.14

公分母の分子をまとめます。

$\frac{π \sin (\frac{π}{2}) - \frac{1}{4} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) \cdot 8}{8}$

ステップ 9.3.15

$8$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{π \sin (\frac{π}{2}) - 8 (\frac{1}{4}) (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{8}$

ステップ 9.3.16

$- 8$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$\frac{π \sin (\frac{π}{2}) + \frac{- 8}{4} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{8}$

ステップ 9.3.17

$- 8$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.3.17.1

$4$ を $- 8$ で因数分解します。

$\frac{π \sin (\frac{π}{2}) + \frac{4 \cdot - 2}{4} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{8}$

ステップ 9.3.17.2

共通因数を約分します。

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ステップ 9.3.17.2.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{π \sin (\frac{π}{2}) + \frac{4 \cdot - 2}{4 (1)} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{8}$

ステップ 9.3.17.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{π \sin (\frac{π}{2}) + \frac{4 \cdot - 2}{4 \cdot 1} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{8}$

ステップ 9.3.17.2.3

式を書き換えます。

$\frac{π \sin (\frac{π}{2}) + \frac{- 2}{1} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{8}$

ステップ 9.3.17.2.4

$- 2$ を $1$ で割ります。

$\frac{π \sin (\frac{π}{2}) - 2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{8}$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{π \cdot 1 - 2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{8}$

ステップ 10.2

$\cos (\frac{π}{2})$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{π \cdot 1 - 2 (- 0 + \cos (0))}{8}$

ステップ 10.3

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{π \cdot 1 - 2 (- 0 + 1)}{8}$

ステップ 10.4

$π$ に $1$ をかけます。

$\frac{π - 2 (- 0 + 1)}{8}$

ステップ 10.5

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\frac{π - 2 (0 + 1)}{8}$

ステップ 10.6

$0$ と $1$ をたし算します。

$\frac{π - 2 \cdot 1}{8}$

ステップ 10.7

$- 2$ に $1$ をかけます。

$\frac{π - 2}{8}$

ステップ 11

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{π - 2}{8}$

10進法形式：

$0.14269908 \dots$

微分積分 例

微分積分例