微分積分例

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} (1 - \cos (3 t)) \sin (3 t) d t$

ステップ 1

$u_{2} = \cos (3 t)$ とします。次に $d u_{2} = - 3 \sin (3 t) d t$ すると、 $- \frac{1}{3} d u_{2} = \sin (3 t) d t$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u_{2} = \cos (3 t)$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d t}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$\cos (3 t)$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [\cos (3 t)]$

ステップ 1.1.2

$f (t) = \cos (t)$ および $g (t) = 3 t$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $3 t$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d t} [3 t]$

ステップ 1.1.2.2

$u_{1}$ に関する $\cos (u_{1})$ の微分係数は $- \sin (u_{1})$ です。

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d t} [3 t]$

ステップ 1.1.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $3 t$ で置き換えます。

$- \sin (3 t) \frac{d}{d t} [3 t]$

ステップ 1.1.3

微分します。

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ステップ 1.1.3.1

$3$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $3 t$ の微分係数は $3 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$- \sin (3 t) (3 \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 1.1.3.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$- 3 \sin (3 t) \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 1.1.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 3 \sin (3 t) \cdot 1$

ステップ 1.1.3.4

$- 3$ に $1$ をかけます。

$- 3 \sin (3 t)$

ステップ 1.2

$u_{2} = \cos (3 t)$ の $t$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = \cos (3 \cdot 0)$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

$3$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = \cos (0)$

ステップ 1.3.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$u_{lower} = 1$

ステップ 1.4

$u_{2} = \cos (3 t)$ の $t$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = \cos (3 \frac{π}{6})$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.1.1

$3$ を $6$ で因数分解します。

$u_{upper} = \cos (3 \frac{π}{3 (2)})$

ステップ 1.5.1.2

共通因数を約分します。

$u_{upper} = \cos (3 \frac{π}{3 \cdot 2})$

ステップ 1.5.1.3

式を書き換えます。

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{2})$

ステップ 1.5.2

$\cos (\frac{π}{2})$ の厳密値は $0$ です。

$u_{upper} = 0$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

ステップ 1.7

$u_{2}$ 、 $d u_{2}$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{1}^{0} (1 - u_{2}) \frac{1}{- 3} d u_{2}$

ステップ 2

分数の前に負数を移動させます。

$\int_{1}^{0} (1 - u_{2}) (- \frac{1}{3}) d u_{2}$

ステップ 3

$(1 - u_{2}) (- \frac{1}{3})$ を掛けます。

$\int_{1}^{0} 1 (- \frac{1}{3}) - u_{2} (- \frac{1}{3}) d u_{2}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\int_{1}^{0} - 1 (\frac{1}{3}) - u_{2} (- \frac{1}{3}) d u_{2}$

ステップ 4.2

$- 1 (\frac{1}{3})$ を $- (\frac{1}{3})$ に書き換えます。

$\int_{1}^{0} - (\frac{1}{3}) - u_{2} (- \frac{1}{3}) d u_{2}$

ステップ 4.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\int_{1}^{0} - \frac{1}{3} + 1 u_{2} \frac{1}{3} d u_{2}$

ステップ 4.4

$u_{2}$ に $1$ をかけます。

$\int_{1}^{0} - \frac{1}{3} + u_{2} \frac{1}{3} d u_{2}$

ステップ 4.5

$u_{2}$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\int_{1}^{0} - \frac{1}{3} + \frac{u_{2}}{3} d u_{2}$

ステップ 5

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{1}^{0} - \frac{1}{3} d u_{2} + \int_{1}^{0} \frac{u_{2}}{3} d u_{2}$

ステップ 6

定数の法則を当てはめます。

$- \frac{1}{3} u_{2}]_{1}^{0} + \int_{1}^{0} \frac{u_{2}}{3} d u_{2}$

ステップ 7

$\frac{1}{3}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{1}{3} u_{2}]_{1}^{0} + \frac{1}{3} \int_{1}^{0} u_{2} d u_{2}$

ステップ 8

べき乗則では、 $u_{2}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ です。

$- \frac{1}{3} u_{2}]_{1}^{0} + \frac{1}{3} \frac{1}{2} {u_{2}}^{2}]_{1}^{0}$

ステップ 9

代入し簡約します。

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ステップ 9.1

$0$ および $1$ で $- \frac{1}{3} u_{2}$ の値を求めます。

$(- \frac{1}{3} \cdot 0) + \frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{3} \frac{1}{2} {u_{2}}^{2}]_{1}^{0}$

ステップ 9.2

$0$ および $1$ で $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ の値を求めます。

$- \frac{1}{3} \cdot 0 + \frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

ステップ 9.3

簡約します。

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ステップ 9.3.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$0 (\frac{1}{3}) + \frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

ステップ 9.3.2

$0$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$0 + \frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

ステップ 9.3.3

$\frac{1}{3}$ に $1$ をかけます。

$0 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

ステップ 9.3.4

$0$ と $\frac{1}{3}$ をたし算します。

$\frac{1}{3} + \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

ステップ 9.3.5

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{1}{3} + \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

ステップ 9.3.6

$\frac{1}{2}$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{3} + \frac{1}{3} (0 - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

ステップ 9.3.7

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{3} + \frac{1}{3} (0 - \frac{1}{2} \cdot 1)$

ステップ 9.3.8

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{3} + \frac{1}{3} (0 - \frac{1}{2})$

ステップ 9.3.9

$0$ から $\frac{1}{2}$ を引きます。

$\frac{1}{3} + \frac{1}{3} (- \frac{1}{2})$

ステップ 9.3.10

$\frac{1}{3}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{1}{3} - \frac{1}{3 \cdot 2}$

ステップ 9.3.11

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{3} - \frac{1}{6}$

ステップ 9.3.12

$\frac{1}{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{6}$

ステップ 9.3.13

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $6$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 9.3.13.1

$\frac{1}{3}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6}$

ステップ 9.3.13.2

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{2}{6} - \frac{1}{6}$

ステップ 9.3.14

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 - 1}{6}$

ステップ 9.3.15

$2$ から $1$ を引きます。

$\frac{1}{6}$

ステップ 10

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{1}{6}$

10進法形式：

$0.1\overline{6}$

微分積分 例

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