微分積分例

$\int_{0}^{0.9} \cos (\sqrt{6 x}) d x$

ステップ 1

$u_{1} = 6 x$ とします。次に $d u_{1} = 6 d x$ すると、 $\frac{1}{6} d u_{1} = d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u_{1} = 6 x$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$6 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [6 x]$

ステップ 1.1.2

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$6 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 \cdot 1$

ステップ 1.1.4

$6$ に $1$ をかけます。

$6$

ステップ 1.2

$u_{1} = 6 x$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 6 \cdot 0$

ステップ 1.3

$6$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 0$

ステップ 1.4

$u_{1} = 6 x$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 6 \cdot 0.9$

ステップ 1.5

$6$ に $0.9$ をかけます。

$u_{upper} = 5.4$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 5.4$

ステップ 1.7

$u_{1}$ 、 $d u_{1}$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{0}^{5.4} \cos (\sqrt{u_{1}}) \frac{1}{6} d u_{1}$

ステップ 2

$\cos (\sqrt{u_{1}})$ と $\frac{1}{6}$ をまとめます。

$\int_{0}^{5.4} \frac{\cos (\sqrt{u_{1}})}{6} d u_{1}$

ステップ 3

$\frac{1}{6}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{6}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{6} \int_{0}^{5.4} \cos (\sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

ステップ 4

$u_{2} = \sqrt{u_{1}}$ とします。次に $d u_{2} = \frac{1}{2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1}$ すると、 $2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} d u_{2} = d u_{1}$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

$\frac{1}{6} \int_{0}^{\sqrt{5.4}} 2 u_{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

ステップ 5

$2$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{6} (2 \int_{0}^{\sqrt{5.4}} u_{2} \cos (u_{2}) d u_{2})$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$2$ と $\frac{1}{6}$ をまとめます。

$\frac{2}{6} \int_{0}^{\sqrt{5.4}} u_{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

ステップ 6.2

$2$ と $6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 (1)}{6} \int_{0}^{\sqrt{5.4}} u_{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

ステップ 6.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.2.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int_{0}^{\sqrt{5.4}} u_{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

ステップ 6.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int_{0}^{\sqrt{5.4}} u_{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

ステップ 6.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{3} \int_{0}^{\sqrt{5.4}} u_{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

ステップ 7

$w = u_{2}$ と $dv = \cos (u_{2})$ ならば、公式 $\int w d v = w v - \int v d w$ を利用して部分積分します。

$\frac{1}{3} (u_{2} \sin (u_{2})]_{0}^{\sqrt{5.4}} - \int_{0}^{\sqrt{5.4}} \sin (u_{2}) d u_{2})$

ステップ 8

$\sin (u_{2})$ の $u_{2}$ に関する積分は $- \cos (u_{2})$ です。

$\frac{1}{3} (u_{2} \sin (u_{2})]_{0}^{\sqrt{5.4}} - (- \cos (u_{2})]_{0}^{\sqrt{5.4}}))$

ステップ 9

代入し簡約します。

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ステップ 9.1

$\sqrt{5.4}$ および $0$ で $u_{2} \sin (u_{2})$ の値を求めます。

$\frac{1}{3} ((\sqrt{5.4} \sin (\sqrt{5.4})) + 0 \sin (0) - (- \cos (u_{2})]_{0}^{\sqrt{5.4}}))$

ステップ 9.2

$\sqrt{5.4}$ および $0$ で $- \cos (u_{2})$ の値を求めます。

$\frac{1}{3} ((\sqrt{5.4} \sin (\sqrt{5.4})) + 0 \sin (0) - ((- \cos (\sqrt{5.4})) + \cos (0)))$

ステップ 9.3

簡約します。

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ステップ 9.3.1

$0$ に $\sin (0)$ をかけます。

$\frac{1}{3} (\sqrt{5.4} \sin (\sqrt{5.4}) + 0 - ((- \cos (\sqrt{5.4})) + \cos (0)))$

ステップ 9.3.2

$\sqrt{5.4} \sin (\sqrt{5.4})$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{3} (\sqrt{5.4} \sin (\sqrt{5.4}) - (- \cos (\sqrt{5.4}) + \cos (0)))$

ステップ 10

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{1}{3} (\sqrt{5.4} \sin (\sqrt{5.4}) - (- \cos (\sqrt{5.4}) + 1))$

ステップ 11

簡約します。

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ステップ 11.1

$\sin (\sqrt{5.4})$ の値を求めます。

$\frac{1}{3} (\sqrt{5.4} \cdot 0.72964498 - (- \cos (\sqrt{5.4}) + 1))$

ステップ 11.2

$\sqrt{5.4}$ に $0.72964498$ をかけます。

$\frac{1}{3} (1.69554172 - (- \cos (\sqrt{5.4}) + 1))$

ステップ 11.3

$\cos (\sqrt{5.4})$ の値を求めます。

$\frac{1}{3} (1.69554172 - (- - 0.68382614 + 1))$

ステップ 11.4

$- 1$ に $- 0.68382614$ をかけます。

$\frac{1}{3} (1.69554172 - (0.68382614 + 1))$

ステップ 11.5

$0.68382614$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{3} (1.69554172 - 1 \cdot 1.68382614)$

ステップ 11.6

$- 1$ に $1.68382614$ をかけます。

$\frac{1}{3} (1.69554172 - 1.68382614)$

ステップ 11.7

$1.69554172$ から $1.68382614$ を引きます。

$\frac{1}{3} \cdot 0.01171557$

ステップ 11.8

$\frac{1}{3}$ と $0.01171557$ をまとめます。

$\frac{0.01171557}{3}$

ステップ 11.9

$0.01171557$ を $3$ で割ります。

$0.00390519$

微分積分 例

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