微分積分例

$\int_{0}^{1} \frac{x}{x + 1} d x$

ステップ 1

$x$ を $x + 1$ で割ります。

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ステップ 1.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$1$

$x$

$0$

ステップ 1.2

被除数 $x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

					$1$
	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

ステップ 1.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$1$

ステップ 1.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x + 1$ の符号をすべて変更します。

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$

ステップ 1.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$
					-	$1$

ステップ 1.6

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$\int_{0}^{1} 1 - \frac{1}{x + 1} d x$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{0}^{1} d x + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x + 1} d x$

ステップ 3

定数の法則を当てはめます。

$x]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x + 1} d x$

ステップ 4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{x + 1} d x$

ステップ 5

$u = x + 1$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 5.1

$u = x + 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 5.1.1

$x + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

ステップ 5.1.2

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 5.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 5.1.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 5.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 5.2

$u = x + 1$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 0 + 1$

ステップ 5.3

$0$ と $1$ をたし算します。

$u_{lower} = 1$

ステップ 5.4

$u = x + 1$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 1 + 1$

ステップ 5.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$u_{upper} = 2$

ステップ 5.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

ステップ 5.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$x]_{0}^{1} - \int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u$

ステップ 6

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$x]_{0}^{1} - (\ln (| u |)]_{1}^{2})$

ステップ 7

代入し簡約します。

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ステップ 7.1

$1$ および $0$ で $x$ の値を求めます。

$(1) + 0 - (\ln (| u |)]_{1}^{2})$

ステップ 7.2

$2$ および $1$ で $\ln (| u |)$ の値を求めます。

$(1) + 0 - ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |))$

ステップ 7.3

$1$ と $0$ をたし算します。

$1 - (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

ステップ 8

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$1 - \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $2$ の間の距離は $2$ です。

$1 - \ln (\frac{2}{| 1 |})$

ステップ 9.2

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$1 - \ln (\frac{2}{1})$

ステップ 9.3

$2$ を $1$ で割ります。

$1 - \ln (2)$

ステップ 10

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$1 - \ln (2)$

10進法形式：

$0.30685281 \dots$

ステップ 11

微分積分 例

微分積分例