微分積分例

$\int_{0}^{1} \frac{\ln (x)}{\sqrt{x}} d x$

ステップ 1

$\frac{\ln (x)}{\sqrt{x}}$ を積として書き換えます。

$\int_{0}^{1} \ln (x) \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

ステップ 2

$u = \ln (x)$ と $d v = \frac{1}{\sqrt{x}}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x} d x$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

$2$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x^{\frac{1}{2}} \frac{2}{x} d x$

ステップ 3.2

$x^{\frac{1}{2}}$ と $\frac{2}{x}$ をまとめます。

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{x} d x$

ステップ 3.3

$2$ を $x^{\frac{1}{2}}$ の左に移動させます。

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2 \cdot x^{\frac{1}{2}}}{x} d x$

ステップ 3.4

負の指数法則 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ を利用して $x^{\frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} d x$

ステップ 3.5

指数を足して $x$ に $x^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 3.5.1

$x$ に $x^{- \frac{1}{2}}$ をかけます。

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ステップ 3.5.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} d x$

ステップ 3.5.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2}{x^{1 - \frac{1}{2}}} d x$

ステップ 3.5.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d x$

ステップ 3.5.3

公分母の分子をまとめます。

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} d x$

ステップ 3.5.4

$2$ から $1$ を引きます。

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

ステップ 4

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}})]_{0}^{1} - (2 \int_{0}^{1} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x)$

ステップ 5

式を簡約します。

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ステップ 5.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}})]_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

ステップ 5.2

$x^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}})]_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

ステップ 5.3

${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 5.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}})]_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

ステップ 5.3.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}})]_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} x^{\frac{- 1}{2}} d x$

ステップ 5.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}})]_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 6

べき乗則では、 $x^{- \frac{1}{2}}$ の $x$ に関する積分は $2 x^{\frac{1}{2}}$ です。

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}})]_{0}^{1} - 2 (2 x^{\frac{1}{2}}]_{0}^{1})$

ステップ 7

$1$ および $0$ で $\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}})$ の値を求めます。

$(\ln (1) (2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})) - \ln (0) (2 x^{\frac{1}{2}}) - 2 (2 x^{\frac{1}{2}}]_{0}^{1})$

ステップ 8

0の自然対数は未定義です。

未定義

微分積分 例

微分積分例