微分積分例

$\int_{0}^{1} \sqrt{t^{4} + 7 t} (4 t^{3} + 7) d t$

ステップ 1

$u = t^{4} + 7 t$ とします。次に $d u = (4 t^{3} + 7) d t$ すると、 $\frac{1}{4 t^{3} + 7} d u = d t$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = t^{4} + 7 t$ とします。 $\frac{d u}{d t}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$t^{4} + 7 t$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [t^{4} + 7 t]$

ステップ 1.1.2

微分します。

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ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $t^{4} + 7 t$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [7 t]$ です。

$\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [7 t]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 t^{3} + \frac{d}{d t} [7 t]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d t} [7 t]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$7$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $7 t$ の微分係数は $7 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$4 t^{3} + 7 \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 t^{3} + 7 \cdot 1$

ステップ 1.1.3.3

$7$ に $1$ をかけます。

$4 t^{3} + 7$

ステップ 1.2

$u = t^{4} + 7 t$ の $t$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 0^{4} + 7 \cdot 0$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.3.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$u_{lower} = 0 + 7 \cdot 0$

ステップ 1.3.1.2

$7$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 0 + 0$

ステップ 1.3.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$u_{lower} = 0$

ステップ 1.4

$u = t^{4} + 7 t$ の $t$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 1^{4} + 7 \cdot 1$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.5.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$u_{upper} = 1 + 7 \cdot 1$

ステップ 1.5.1.2

$7$ に $1$ をかけます。

$u_{upper} = 1 + 7$

ステップ 1.5.2

$1$ と $7$ をたし算します。

$u_{upper} = 8$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 8$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{0}^{8} \sqrt{u} d u$

ステップ 2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int_{0}^{8} u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 3

べき乗則では、 $u^{\frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ です。

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{8}$

ステップ 4

代入し簡約します。

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ステップ 4.1

$8$ および $0$ で $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ の値を求めます。

$(\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

ステップ 4.2

簡約します。

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ステップ 4.2.1

$\frac{2}{3}$ と $8^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$\frac{2 \cdot 8^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

ステップ 4.2.2

$8$ を $2^{3}$ に書き換えます。

$\frac{2 \cdot {(2^{3})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

ステップ 4.2.3

${(2^{3})}^{\frac{3}{2}}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.2.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{2 \cdot 2^{3 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

ステップ 4.2.3.2

$3 (\frac{3}{2})$ を掛けます。

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ステップ 4.2.3.2.1

$3$ と $\frac{3}{2}$ をまとめます。

$\frac{2 \cdot 2^{\frac{3 \cdot 3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

ステップ 4.2.3.2.2

$3$ に $3$ をかけます。

$\frac{2 \cdot 2^{\frac{9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

ステップ 4.2.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2^{1 + \frac{9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

ステップ 4.2.5

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{2^{\frac{2}{2} + \frac{9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

ステップ 4.2.6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2^{\frac{2 + 9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

ステップ 4.2.7

$2$ と $9$ をたし算します。

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

ステップ 4.2.8

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}$

ステップ 4.2.9

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}$

ステップ 4.2.10

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.10.1

共通因数を約分します。

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}$

ステップ 4.2.10.2

式を書き換えます。

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3}$

ステップ 4.2.11

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0$

ステップ 4.2.12

$0$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} + 0 (\frac{2}{3})$

ステップ 4.2.13

$0$ に $\frac{2}{3}$ をかけます。

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} + 0$

ステップ 4.2.14

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3}$

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3}$

10進法形式：

$15.08494466 \dots$

ステップ 6

微分積分 例

微分積分例