微分積分例

$\int_{0}^{1} {(3 x - 2)}^{2} d x$

ステップ 1

$u = 3 x - 2$ とします。次に $d u = 3 d x$ すると、 $\frac{1}{3} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = 3 x - 2$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$3 x - 2$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [3 x - 2]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $3 x - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [3 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 1.1.3.3

$3$ に $1$ をかけます。

$3 + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 1.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.4.1

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$3 + 0$

ステップ 1.1.4.2

$3$ と $0$ をたし算します。

$3$

ステップ 1.2

$u = 3 x - 2$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 3 \cdot 0 - 2$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

$3$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 0 - 2$

ステップ 1.3.2

$0$ から $2$ を引きます。

$u_{lower} = - 2$

ステップ 1.4

$u = 3 x - 2$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 3 \cdot 1 - 2$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

$3$ に $1$ をかけます。

$u_{upper} = 3 - 2$

ステップ 1.5.2

$3$ から $2$ を引きます。

$u_{upper} = 1$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = - 2$

$u_{upper} = 1$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{- 2}^{1} u^{2} \frac{1}{3} d u$

ステップ 2

$u^{2}$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\int_{- 2}^{1} \frac{u^{2}}{3} d u$

ステップ 3

$\frac{1}{3}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} \int_{- 2}^{1} u^{2} d u$

ステップ 4

べき乗則では、 $u^{2}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{3} u^{3}$ です。

$\frac{1}{3} \frac{1}{3} u^{3}]_{- 2}^{1}$

ステップ 5

代入し簡約します。

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ステップ 5.1

$1$ および $- 2$ で $\frac{1}{3} u^{3}$ の値を求めます。

$\frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 1^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

ステップ 5.2

簡約します。

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ステップ 5.2.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{3} (\frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

ステップ 5.2.2

$\frac{1}{3}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{3} (\frac{1}{3} - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

ステップ 5.2.3

$- 2$ を $3$ 乗します。

$\frac{1}{3} (\frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 8)$

ステップ 5.2.4

$- 8$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{3} (\frac{1}{3} + 8 (\frac{1}{3}))$

ステップ 5.2.5

$8$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{1}{3} (\frac{1}{3} + \frac{8}{3})$

ステップ 5.2.6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 + 8}{3}$

ステップ 5.2.7

$1$ と $8$ をたし算します。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{9}{3}$

ステップ 5.2.8

$9$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.8.1

$3$ を $9$ で因数分解します。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 3}{3}$

ステップ 5.2.8.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.8.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 3}{3 (1)}$

ステップ 5.2.8.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1}$

ステップ 5.2.8.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{1}$

ステップ 5.2.8.2.4

$3$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{3} \cdot 3$

ステップ 5.2.9

$\frac{1}{3}$ と $3$ をまとめます。

$\frac{3}{3}$

ステップ 5.2.10

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.10.1

共通因数を約分します。

$\frac{3}{3}$

ステップ 5.2.10.2

式を書き換えます。

$1$

ステップ 6

微分積分 例

微分積分例