微分積分例

$\int_{0}^{1} \frac{6 t}{t^{2} + 1} d t$

ステップ 1

$6$ は $t$ に対して定数なので、 $6$ を積分の外に移動させます。

$6 \int_{0}^{1} \frac{t}{t^{2} + 1} d t$

ステップ 2

$u = t^{2} + 1$ とします。次に $d u = 2 t d t$ すると、 $\frac{1}{2} d u = t d t$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$u = t^{2} + 1$ とします。 $\frac{d u}{d t}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$t^{2} + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [t^{2} + 1]$

ステップ 2.1.2

総和則では、 $t^{2} + 1$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ です。

$\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$

ステップ 2.1.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 t + \frac{d}{d t} [1]$

ステップ 2.1.4

$1$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$2 t + 0$

ステップ 2.1.5

$2 t$ と $0$ をたし算します。

$2 t$

ステップ 2.2

$u = t^{2} + 1$ の $t$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 0^{2} + 1$

ステップ 2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$u_{lower} = 0 + 1$

ステップ 2.3.2

$0$ と $1$ をたし算します。

$u_{lower} = 1$

ステップ 2.4

$u = t^{2} + 1$ の $t$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 1^{2} + 1$

ステップ 2.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

1のすべての数の累乗は1です。

$u_{upper} = 1 + 1$

ステップ 2.5.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$u_{upper} = 2$

ステップ 2.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

ステップ 2.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$6 \int_{1}^{2} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

ステップ 3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$\frac{1}{u}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$6 \int_{1}^{2} \frac{1}{u \cdot 2} d u$

ステップ 3.2

$2$ を $u$ の左に移動させます。

$6 \int_{1}^{2} \frac{1}{2 u} d u$

ステップ 4

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$6 (\frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u)$

ステップ 5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$\frac{1}{2}$ と $6$ をまとめます。

$\frac{6}{2} \int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u$

ステップ 5.2

$6$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 3}{2} \int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u$

ステップ 5.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 3}{2 (1)} \int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u$

ステップ 5.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} \int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u$

ステップ 5.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{3}{1} \int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u$

ステップ 5.2.2.4

$3$ を $1$ で割ります。

$3 \int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u$

ステップ 6

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$3 (\ln (| u |)]_{1}^{2})$

ステップ 7

$2$ および $1$ で $\ln (| u |)$ の値を求めます。

$3 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

ステップ 8

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$3 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})$

ステップ 9

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $2$ の間の距離は $2$ です。

$3 \ln (\frac{2}{| 1 |})$

ステップ 9.2

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$3 \ln (\frac{2}{1})$

ステップ 9.3

$2$ を $1$ で割ります。

$3 \ln (2)$

ステップ 10

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$3 \ln (2)$

10進法形式：

$2.07944154 \dots$

ステップ 11

微分積分 例

微分積分例