微分積分例

$\int_{0}^{1} {(8 y^{2} - y + 1)}^{- \frac{1}{3}} (32 y - 2) d y$

ステップ 1

簡約します。

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ステップ 1.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\int_{0}^{1} \frac{1}{{(8 y^{2} - y + 1)}^{\frac{1}{3}}} (32 y - 2) d y$

ステップ 1.2

$\frac{1}{{(8 y^{2} - y + 1)}^{\frac{1}{3}}}$ に $32 y - 2$ をかけます。

$\int_{0}^{1} \frac{32 y - 2}{{(8 y^{2} - y + 1)}^{\frac{1}{3}}} d y$

ステップ 1.3

$2$ を $32 y - 2$ で因数分解します。

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ステップ 1.3.1

$2$ を $32 y$ で因数分解します。

$\int_{0}^{1} \frac{2 (16 y) - 2}{{(8 y^{2} - y + 1)}^{\frac{1}{3}}} d y$

ステップ 1.3.2

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\int_{0}^{1} \frac{2 (16 y) + 2 (- 1)}{{(8 y^{2} - y + 1)}^{\frac{1}{3}}} d y$

ステップ 1.3.3

$2$ を $2 (16 y) + 2 (- 1)$ で因数分解します。

$\int_{0}^{1} \frac{2 (16 y - 1)}{{(8 y^{2} - y + 1)}^{\frac{1}{3}}} d y$

ステップ 2

$2$ は $y$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int_{0}^{1} \frac{16 y - 1}{{(8 y^{2} - y + 1)}^{\frac{1}{3}}} d y$

ステップ 3

$u = 8 y^{2} - y + 1$ とします。次に $d u = (16 y - 1) d y$ すると、 $\frac{1}{16 y - 1} d u = d y$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 3.1

$u = 8 y^{2} - y + 1$ とします。 $\frac{d u}{d y}$ を求めます。

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ステップ 3.1.1

$8 y^{2} - y + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [8 y^{2} - y + 1]$

ステップ 3.1.2

総和則では、 $8 y^{2} - y + 1$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [8 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1]$ です。

$\frac{d}{d y} [8 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1]$

ステップ 3.1.3

$\frac{d}{d y} [8 y^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1.3.1

$8$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $8 y^{2}$ の微分係数は $8 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ です。

$8 \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1]$

ステップ 3.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$8 (2 y) + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1]$

ステップ 3.1.3.3

$2$ に $8$ をかけます。

$16 y + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1]$

ステップ 3.1.4

$\frac{d}{d y} [- y]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1.4.1

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $- y$ の微分係数は $- \frac{d}{d y} [y]$ です。

$16 y - \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

ステップ 3.1.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$16 y - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]$

ステップ 3.1.4.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$16 y - 1 + \frac{d}{d y} [1]$

ステップ 3.1.5

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 3.1.5.1

$1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$16 y - 1 + 0$

ステップ 3.1.5.2

$16 y - 1$ と $0$ をたし算します。

$16 y - 1$

ステップ 3.2

$u = 8 y^{2} - y + 1$ の $y$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 8 \cdot 0^{2} - 0 + 1$

ステップ 3.3

簡約します。

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ステップ 3.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$u_{lower} = 8 \cdot 0 - 0 + 1$

ステップ 3.3.1.2

$8$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 0 - 0 + 1$

ステップ 3.3.1.3

$- 1$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 0 + 0 + 1$

ステップ 3.3.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$u_{lower} = 0 + 1$

ステップ 3.3.3

$0$ と $1$ をたし算します。

$u_{lower} = 1$

ステップ 3.4

$u = 8 y^{2} - y + 1$ の $y$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 8 \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1 + 1$

ステップ 3.5

簡約します。

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ステップ 3.5.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.5.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$u_{upper} = 8 \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 1$

ステップ 3.5.1.2

$8$ に $1$ をかけます。

$u_{upper} = 8 - 1 \cdot 1 + 1$

ステップ 3.5.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$u_{upper} = 8 - 1 + 1$

ステップ 3.5.2

$8$ から $1$ を引きます。

$u_{upper} = 7 + 1$

ステップ 3.5.3

$7$ と $1$ をたし算します。

$u_{upper} = 8$

ステップ 3.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 8$

ステップ 3.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$2 \int_{1}^{8} \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

ステップ 4

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 4.1

$u^{\frac{1}{3}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$2 \int_{1}^{8} {(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u$

ステップ 4.2

${(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$2 \int_{1}^{8} u^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u$

ステップ 4.2.2

$\frac{1}{3}$ と $- 1$ をまとめます。

$2 \int_{1}^{8} u^{\frac{- 1}{3}} d u$

ステップ 4.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$2 \int_{1}^{8} u^{- \frac{1}{3}} d u$

ステップ 5

べき乗則では、 $u^{- \frac{1}{3}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ です。

$2 (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}]_{1}^{8})$

ステップ 6

$\frac{3}{2}$ と $u^{\frac{2}{3}}$ をまとめます。

$2 (\frac{3 u^{\frac{2}{3}}}{2}]_{1}^{8})$

ステップ 7

代入し簡約します。

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ステップ 7.1

$8$ および $1$ で $\frac{3 u^{\frac{2}{3}}}{2}$ の値を求めます。

$2 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{2}{3}}}{2}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

ステップ 7.2

簡約します。

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ステップ 7.2.1

$8$ を $2^{3}$ に書き換えます。

$2 (\frac{3 \cdot {(2^{3})}^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

ステップ 7.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$2 (\frac{3 \cdot 2^{3 (\frac{2}{3})}}{2} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

ステップ 7.2.3

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.3.1

共通因数を約分します。

$2 (\frac{3 \cdot 2^{3 (\frac{2}{3})}}{2} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

ステップ 7.2.3.2

式を書き換えます。

$2 (\frac{3 \cdot 2^{2}}{2} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

ステップ 7.2.4

$2$ を $2$ 乗します。

$2 (\frac{3 \cdot 4}{2} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

ステップ 7.2.5

$3$ に $4$ をかけます。

$2 (\frac{12}{2} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

ステップ 7.2.6

$12$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.6.1

$2$ を $12$ で因数分解します。

$2 (\frac{2 \cdot 6}{2} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

ステップ 7.2.6.2

共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.6.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$2 (\frac{2 \cdot 6}{2 (1)} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

ステップ 7.2.6.2.2

共通因数を約分します。

$2 (\frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 1} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

ステップ 7.2.6.2.3

式を書き換えます。

$2 (\frac{6}{1} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

ステップ 7.2.6.2.4

$6$ を $1$ で割ります。

$2 (6 - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

ステップ 7.2.7

1のすべての数の累乗は1です。

$2 (6 - \frac{3 \cdot 1}{2})$

ステップ 7.2.8

$3$ に $1$ をかけます。

$2 (6 - \frac{3}{2})$

ステップ 7.2.9

$6$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$2 (6 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2})$

ステップ 7.2.10

$6$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$2 (\frac{6 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2})$

ステップ 7.2.11

公分母の分子をまとめます。

$2 \frac{6 \cdot 2 - 3}{2}$

ステップ 7.2.12

分子を簡約します。

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ステップ 7.2.12.1

$6$ に $2$ をかけます。

$2 \frac{12 - 3}{2}$

ステップ 7.2.12.2

$12$ から $3$ を引きます。

$2 (\frac{9}{2})$

ステップ 7.2.13

$2$ と $\frac{9}{2}$ をまとめます。

$\frac{2 \cdot 9}{2}$

ステップ 7.2.14

$2$ に $9$ をかけます。

$\frac{18}{2}$

ステップ 7.2.15

$18$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.15.1

$2$ を $18$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 9}{2}$

ステップ 7.2.15.2

共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.15.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 9}{2 (1)}$

ステップ 7.2.15.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.2.15.2.3

式を書き換えます。

$\frac{9}{1}$

ステップ 7.2.15.2.4

$9$ を $1$ で割ります。

$9$

ステップ 8

微分積分 例

微分積分例