微分積分例

$\int_{0}^{2} z^{2} \ln (z) d z$

ステップ 1

$u = \ln (z)$ と $d v = z^{2}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\ln (z) (\frac{1}{3} z^{3})]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} \frac{1}{3} z^{3} \frac{1}{z} d z$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{3}$ と $z^{3}$ をまとめます。

$\ln (z) \frac{z^{3}}{3}]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} \frac{1}{3} z^{3} \frac{1}{z} d z$

ステップ 2.2

$\ln (z)$ と $\frac{z^{3}}{3}$ をまとめます。

$\frac{\ln (z) z^{3}}{3}]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} \frac{1}{3} z^{3} \frac{1}{z} d z$

ステップ 3

$\frac{1}{3}$ は $z$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{\ln (z) z^{3}}{3}]_{0}^{2} - (\frac{1}{3} \int_{0}^{2} z^{3} \frac{1}{z} d z)$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

$z^{3}$ と $\frac{1}{z}$ をまとめます。

$\frac{\ln (z) z^{3}}{3}]_{0}^{2} - (\frac{1}{3} \int_{0}^{2} \frac{z^{3}}{z} d z)$

ステップ 4.2

$z^{3}$ と $z$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1

$z$ を $z^{3}$ で因数分解します。

$\frac{\ln (z) z^{3}}{3}]_{0}^{2} - (\frac{1}{3} \int_{0}^{2} \frac{z \cdot z^{2}}{z} d z)$

ステップ 4.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.2.1

$z$ を $1$ 乗します。

$\frac{\ln (z) z^{3}}{3}]_{0}^{2} - (\frac{1}{3} \int_{0}^{2} \frac{z \cdot z^{2}}{z^{1}} d z)$

ステップ 4.2.2.2

$z$ を $z^{1}$ で因数分解します。

$\frac{\ln (z) z^{3}}{3}]_{0}^{2} - (\frac{1}{3} \int_{0}^{2} \frac{z \cdot z^{2}}{z \cdot 1} d z)$

ステップ 4.2.2.3

共通因数を約分します。

$\frac{\ln (z) z^{3}}{3}]_{0}^{2} - (\frac{1}{3} \int_{0}^{2} \frac{z \cdot z^{2}}{z \cdot 1} d z)$

ステップ 4.2.2.4

式を書き換えます。

$\frac{\ln (z) z^{3}}{3}]_{0}^{2} - (\frac{1}{3} \int_{0}^{2} \frac{z^{2}}{1} d z)$

ステップ 4.2.2.5

$z^{2}$ を $1$ で割ります。

$\frac{\ln (z) z^{3}}{3}]_{0}^{2} - (\frac{1}{3} \int_{0}^{2} z^{2} d z)$

$\frac{\ln (z) z^{3}}{3}]_{0}^{2} - \frac{1}{3} \int_{0}^{2} z^{2} d z$

ステップ 5

べき乗則では、 $z^{2}$ の $z$ に関する積分は $\frac{1}{3} z^{3}$ です。

$\frac{\ln (z) z^{3}}{3}]_{0}^{2} - \frac{1}{3} \frac{1}{3} z^{3}]_{0}^{2}$

ステップ 6

$2$ および $0$ で $\frac{\ln (z) z^{3}}{3}$ の値を求めます。

$(\frac{\ln (2) \cdot 2^{3}}{3}) - \frac{\ln (0) z^{3}}{3} - \frac{1}{3} \frac{1}{3} z^{3}]_{0}^{2}$

ステップ 7

0の自然対数は未定義です。

未定義

微分積分 例

微分積分例