微分積分例

$\int_{0}^{2} r^{2} e^{3 r} d r$

ステップ 1

$u = r^{2}$ と $d v = e^{3 r}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$r^{2} (\frac{1}{3} e^{3 r})]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} \frac{1}{3} e^{3 r} (2 r) d r$

ステップ 2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\frac{1}{3}$ と $e^{3 r}$ をまとめます。

$r^{2} \frac{e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} \frac{1}{3} e^{3 r} (2 r) d r$

ステップ 2.2

$r^{2}$ と $\frac{e^{3 r}}{3}$ をまとめます。

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} \frac{1}{3} e^{3 r} (2 r) d r$

ステップ 3

$\frac{1}{3} \cdot 2$ は $r$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3} \cdot 2$ を積分の外に移動させます。

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - (\frac{1}{3} \cdot 2 \int_{0}^{2} e^{3 r} (r) d r)$

ステップ 4

$\frac{1}{3}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{2}{3} \int_{0}^{2} e^{3 r} (r) d r$

ステップ 5

$u = r$ と $d v = e^{3 r}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{2}{3} (r (\frac{1}{3} e^{3 r})]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} \frac{1}{3} e^{3 r} d r)$

ステップ 6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$\frac{1}{3}$ と $e^{3 r}$ をまとめます。

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{2}{3} (r \frac{e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} \frac{1}{3} e^{3 r} d r)$

ステップ 6.2

$r$ と $\frac{e^{3 r}}{3}$ をまとめます。

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{2}{3} (\frac{r e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} \frac{1}{3} e^{3 r} d r)$

ステップ 6.3

$\frac{1}{3}$ と $e^{3 r}$ をまとめます。

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{2}{3} (\frac{r e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} \frac{e^{3 r}}{3} d r)$

ステップ 7

$\frac{1}{3}$ は $r$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{2}{3} (\frac{r e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - (\frac{1}{3} \int_{0}^{2} e^{3 r} d r))$

ステップ 8

$u = 3 r$ とします。次に $d u = 3 d r$ すると、 $\frac{1}{3} d u = d r$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$u = 3 r$ とします。 $\frac{d u}{d r}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.1

$3 r$ を微分します。

$\frac{d}{d r} [3 r]$

ステップ 8.1.2

$3$ は $r$ に対して定数なので、 $r$ に対する $3 r$ の微分係数は $3 \frac{d}{d r} [r]$ です。

$3 \frac{d}{d r} [r]$

ステップ 8.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ は $n r^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 \cdot 1$

ステップ 8.1.4

$3$ に $1$ をかけます。

$3$

ステップ 8.2

$u = 3 r$ の $r$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

ステップ 8.3

$3$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 0$

ステップ 8.4

$u = 3 r$ の $r$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 3 \cdot 2$

ステップ 8.5

$3$ に $2$ をかけます。

$u_{upper} = 6$

ステップ 8.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 6$

ステップ 8.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{2}{3} (\frac{r e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{1}{3} \int_{0}^{6} e^{u} \frac{1}{3} d u)$

ステップ 9

$e^{u}$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{2}{3} (\frac{r e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{1}{3} \int_{0}^{6} \frac{e^{u}}{3} d u)$

ステップ 10

$\frac{1}{3}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{2}{3} (\frac{r e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int_{0}^{6} e^{u} d u))$

ステップ 11

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

$\frac{1}{3}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{2}{3} (\frac{r e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int_{0}^{6} e^{u} d u)$

ステップ 11.2

$3$ に $3$ をかけます。

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{2}{3} (\frac{r e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{1}{9} \int_{0}^{6} e^{u} d u)$

ステップ 12

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{2}{3} (\frac{r e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{1}{9} e^{u}]_{0}^{6})$

ステップ 13

$e^{u}]_{0}^{6}$ と $\frac{1}{9}$ をまとめます。

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{2}{3} (\frac{r e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{e^{u}]_{0}^{6}}{9})$

ステップ 14

代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1

$2$ および $0$ で $\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}$ の値を求めます。

$(\frac{2^{2} e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0^{2} e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{r e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{e^{u}]_{0}^{6}}{9})$

ステップ 14.2

$2$ および $0$ で $\frac{r e^{3 r}}{3}$ の値を求めます。

$(\frac{2^{2} e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0^{2} e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{e^{u}]_{0}^{6}}{9})$

ステップ 14.3

$6$ および $0$ で $e^{u}$ の値を求めます。

$(\frac{2^{2} e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0^{2} e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

ステップ 14.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.4.1

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{4 e^{3 \cdot 2}}{3} - \frac{0^{2} e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

ステップ 14.4.2

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{0^{2} e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

ステップ 14.4.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

ステップ 14.4.4

$3$ に $0$ をかけます。

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{0 e^{0}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

ステップ 14.4.5

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{0 \cdot 1}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

ステップ 14.4.6

$0$ に $1$ をかけます。

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{0}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

ステップ 14.4.7

$0$ と $3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.4.7.1

$3$ を $0$ で因数分解します。

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{3 (0)}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

ステップ 14.4.7.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.4.7.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

ステップ 14.4.7.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

ステップ 14.4.7.2.3

式を書き換えます。

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{0}{1} - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

ステップ 14.4.7.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$\frac{4 e^{6}}{3} - 0 - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

ステップ 14.4.8

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\frac{4 e^{6}}{3} + 0 - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

ステップ 14.4.9

$\frac{4 e^{6}}{3}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

ステップ 14.4.10

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6}}{3} - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

ステップ 14.4.11

$3$ に $0$ をかけます。

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6}}{3} - \frac{0 e^{0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

ステップ 14.4.12

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6}}{3} - \frac{0 \cdot 1}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

ステップ 14.4.13

$0$ に $1$ をかけます。

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6}}{3} - \frac{0}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

ステップ 14.4.14

$0$ と $3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.4.14.1

$3$ を $0$ で因数分解します。

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6}}{3} - \frac{3 (0)}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

ステップ 14.4.14.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.4.14.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

ステップ 14.4.14.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

ステップ 14.4.14.2.3

式を書き換えます。

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6}}{3} - \frac{0}{1} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

ステップ 14.4.14.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6}}{3} - 0 - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

ステップ 14.4.15

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6}}{3} + 0 - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

ステップ 14.4.16

$\frac{2 e^{6}}{3}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

ステップ 14.4.17

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6}}{3} - \frac{e^{6} - 1 \cdot 1}{9})$

ステップ 14.4.18

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6}}{3} - \frac{e^{6} - 1}{9})$

ステップ 14.4.19

$\frac{2 e^{6}}{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6}}{3} \cdot \frac{3}{3} - \frac{e^{6} - 1}{9})$

ステップ 14.4.20

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $9$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.4.20.1

$\frac{2 e^{6}}{3}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6} \cdot 3}{3 \cdot 3} - \frac{e^{6} - 1}{9})$

ステップ 14.4.20.2

$3$ に $3$ をかけます。

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6} \cdot 3}{9} - \frac{e^{6} - 1}{9})$

ステップ 14.4.21

公分母の分子をまとめます。

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2 e^{6} \cdot 3 - (e^{6} - 1)}{9}$

ステップ 14.4.22

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{6 e^{6} - (e^{6} - 1)}{9}$

ステップ 14.4.23

$\frac{6 e^{6} - (e^{6} - 1)}{9}$ に $\frac{2}{3}$ をかけます。

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{(6 e^{6} - (e^{6} - 1)) \cdot 2}{9 \cdot 3}$

ステップ 14.4.24

$9$ に $3$ をかけます。

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{(6 e^{6} - (e^{6} - 1)) \cdot 2}{27}$

ステップ 14.4.25

$2$ を $6 e^{6} - (e^{6} - 1)$ の左に移動させます。

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2 \cdot (6 e^{6} - (e^{6} - 1))}{27}$

ステップ 14.4.26

$\frac{4 e^{6}}{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{9}{9}$ を掛けます。

$\frac{4 e^{6}}{3} \cdot \frac{9}{9} - \frac{2 (6 e^{6} - (e^{6} - 1))}{27}$

ステップ 14.4.27

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $27$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 14.4.27.1

$\frac{4 e^{6}}{3}$ に $\frac{9}{9}$ をかけます。

$\frac{4 e^{6} \cdot 9}{3 \cdot 9} - \frac{2 (6 e^{6} - (e^{6} - 1))}{27}$

ステップ 14.4.27.2

$3$ に $9$ をかけます。

$\frac{4 e^{6} \cdot 9}{27} - \frac{2 (6 e^{6} - (e^{6} - 1))}{27}$

ステップ 14.4.28

公分母の分子をまとめます。

$\frac{4 e^{6} \cdot 9 - 2 (6 e^{6} - (e^{6} - 1))}{27}$

ステップ 14.4.29

$9$ に $4$ をかけます。

$\frac{36 e^{6} - 2 (6 e^{6} - (e^{6} - 1))}{27}$

ステップ 15

分子を簡約します。

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ステップ 15.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{36 e^{6} - 2 (6 e^{6} - e^{6} - - 1)}{27}$

ステップ 15.1.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{36 e^{6} - 2 (6 e^{6} - e^{6} + 1)}{27}$

ステップ 15.2

$6 e^{6}$ から $e^{6}$ を引きます。

$\frac{36 e^{6} - 2 (5 e^{6} + 1)}{27}$

ステップ 15.3

分配則を当てはめます。

$\frac{36 e^{6} - 2 (5 e^{6}) - 2 \cdot 1}{27}$

ステップ 15.4

$5$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{36 e^{6} - 10 e^{6} - 2 \cdot 1}{27}$

ステップ 15.5

$- 2$ に $1$ をかけます。

$\frac{36 e^{6} - 10 e^{6} - 2}{27}$

ステップ 15.6

$36 e^{6}$ から $10 e^{6}$ を引きます。

$\frac{26 e^{6} - 2}{27}$

ステップ 16

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{26 e^{6} - 2}{27}$

10進法形式：

$388.41291225 \dots$

ステップ 17

微分積分 例

微分積分例