微分積分例

$\frac{1}{\sqrt{x}}$

ステップ 1

$f (x) = 1$ および $g (x) = \sqrt{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{\sqrt{x} \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{{\sqrt{x}}^{2}}$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\sqrt{x} \cdot 0 - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{{\sqrt{x}}^{2}}$

ステップ 2.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{x} \cdot 0 - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{\sqrt{x}}^{2}}$

ステップ 2.3

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\sqrt{x} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{{\sqrt{x}}^{2}}$

ステップ 3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{\sqrt{x} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{{\sqrt{x}}^{2}}$

ステップ 4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{x} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{{\sqrt{x}}^{2}}$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\sqrt{x} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{{\sqrt{x}}^{2}}$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{\sqrt{x} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{{\sqrt{x}}^{2}}$

ステップ 6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{\sqrt{x} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{{\sqrt{x}}^{2}}$

ステップ 7

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{\sqrt{x} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{{\sqrt{x}}^{2}}$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{x} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}{{\sqrt{x}}^{2}}$

ステップ 8.2

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{x} \cdot 0 - 1 \cdot 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

分子を簡約します。

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ステップ 9.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 9.1.1.1

$\sqrt{x}$ に $0$ をかけます。

$\frac{0 - 1 \cdot 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

ステップ 9.1.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{0 - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

ステップ 9.1.2

$0$ から $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ を引きます。

$\frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

ステップ 9.2

項をまとめます。

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ステップ 9.2.1

${\sqrt{x}}^{2}$ を $x$ に書き換えます。

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ステップ 9.2.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 9.2.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 9.2.1.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 9.2.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.2.1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 9.2.1.4.2

式を書き換えます。

$\frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{1}}$

ステップ 9.2.1.5

簡約します。

$\frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

ステップ 9.2.2

$\frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$ を積として書き換えます。

$- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x}$

ステップ 9.2.3

$\frac{1}{x}$ に $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$- \frac{1}{x (2 x^{\frac{1}{2}})}$

ステップ 9.2.4

$x$ を $1$ 乗します。

$- \frac{1}{2 (x^{1} x^{\frac{1}{2}})}$

ステップ 9.2.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{1}{2 x^{1 + \frac{1}{2}}}$

ステップ 9.2.6

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$- \frac{1}{2 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

ステップ 9.2.7

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{1}{2 x^{\frac{2 + 1}{2}}}$

ステップ 9.2.8

$2$ と $1$ をたし算します。

$- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

微分積分 例

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