微分積分例

$\int_{0}^{1} z e^{- z} d z$

ステップ 1

$u = z$ と $d v = e^{- z}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$z (- e^{- z})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - e^{- z} d z$

ステップ 2

$- 1$ は $z$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$z (- e^{- z})]_{0}^{1} - - \int_{0}^{1} e^{- z} d z$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$z (- e^{- z})]_{0}^{1} + 1 \int_{0}^{1} e^{- z} d z$

ステップ 3.2

$\int_{0}^{1} e^{- z} d z$ に $1$ をかけます。

$z (- e^{- z})]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} e^{- z} d z$

ステップ 4

$u = - z$ とします。次に $d u = - d z$ すると、 $- d u = d z$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.1

$u = - z$ とします。 $\frac{d u}{d z}$ を求めます。

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ステップ 4.1.1

$- z$ を微分します。

$\frac{d}{d z} [- z]$

ステップ 4.1.2

$- 1$ は $z$ に対して定数なので、 $z$ に対する $- z$ の微分係数は $- \frac{d}{d z} [z]$ です。

$- \frac{d}{d z} [z]$

ステップ 4.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ は $n z^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 1 \cdot 1$

ステップ 4.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1$

ステップ 4.2

$u = - z$ の $z$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = - 0$

ステップ 4.3

$- 1$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 0$

ステップ 4.4

$u = - z$ の $z$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = - 1 \cdot 1$

ステップ 4.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$u_{upper} = - 1$

ステップ 4.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 1$

ステップ 4.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$z (- e^{- z})]_{0}^{1} + \int_{0}^{- 1} - e^{u} d u$

ステップ 5

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$z (- e^{- z})]_{0}^{1} - \int_{0}^{- 1} e^{u} d u$

ステップ 6

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$z (- e^{- z})]_{0}^{1} - (e^{u}]_{0}^{- 1})$

ステップ 7

代入し簡約します。

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ステップ 7.1

$1$ および $0$ で $z (- e^{- z})$ の値を求めます。

$(1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - (e^{u}]_{0}^{- 1})$

ステップ 7.2

$- 1$ および $0$ で $e^{u}$ の値を求めます。

$(1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0})$

ステップ 7.3

簡約します。

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ステップ 7.3.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$1 (- e^{- 1}) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0})$

ステップ 7.3.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- e^{- 1} + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0})$

ステップ 7.3.3

$- 1$ に $0$ をかけます。

$- e^{- 1} + 0 (- e^{0}) - ((e^{- 1}) - e^{0})$

ステップ 7.3.4

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$- e^{- 1} + 0 (- 1 \cdot 1) - ((e^{- 1}) - e^{0})$

ステップ 7.3.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- e^{- 1} + 0 \cdot - 1 - ((e^{- 1}) - e^{0})$

ステップ 7.3.6

$0$ に $- 1$ をかけます。

$- e^{- 1} + 0 - ((e^{- 1}) - e^{0})$

ステップ 7.3.7

$- e^{- 1}$ と $0$ をたし算します。

$- e^{- 1} - ((e^{- 1}) - e^{0})$

ステップ 7.3.8

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$- e^{- 1} - (e^{- 1} - 1 \cdot 1)$

ステップ 7.3.9

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- e^{- 1} - (e^{- 1} - 1)$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

各項を簡約します。

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ステップ 8.1.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- \frac{1}{e} - (e^{- 1} - 1)$

ステップ 8.1.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- \frac{1}{e} - (\frac{1}{e} - 1)$

ステップ 8.1.3

分配則を当てはめます。

$- \frac{1}{e} - \frac{1}{e} - - 1$

ステップ 8.1.4

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{1}{e} - \frac{1}{e} + 1$

ステップ 8.2

公分母の分子をまとめます。

$1 + \frac{- 1 - 1}{e}$

ステップ 8.3

$- 1$ から $1$ を引きます。

$1 + \frac{- 2}{e}$

ステップ 8.4

分数の前に負数を移動させます。

$1 - \frac{2}{e}$

ステップ 9

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$1 - \frac{2}{e}$

10進法形式：

$0.26424111 \dots$

ステップ 10

微分積分 例

微分積分例