微分積分例

$\int_{0}^{1} \frac{y}{e^{8 y}} d y$

ステップ 1

式を簡約します。

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ステップ 1.1

$e^{8 y}$ の指数を否定し、分母の外に移動させます。

$\int_{0}^{1} y {(e^{8 y})}^{- 1} d y$

ステップ 1.2

${(e^{8 y})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int_{0}^{1} y e^{8 y \cdot - 1} d y$

ステップ 1.2.2

$- 1$ に $8$ をかけます。

$\int_{0}^{1} y e^{- 8 y} d y$

ステップ 2

$u = y$ と $d v = e^{- 8 y}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$y (- \frac{1}{8} e^{- 8 y})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - \frac{1}{8} e^{- 8 y} d y$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

$e^{- 8 y}$ と $\frac{1}{8}$ をまとめます。

$y (- \frac{e^{- 8 y}}{8})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - \frac{1}{8} e^{- 8 y} d y$

ステップ 3.2

$y$ と $\frac{e^{- 8 y}}{8}$ をまとめます。

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - \frac{1}{8} e^{- 8 y} d y$

ステップ 4

$- \frac{1}{8}$ は $y$ に対して定数なので、 $- \frac{1}{8}$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} - (- \frac{1}{8} \int_{0}^{1} e^{- 8 y} d y)$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} + 1 (\frac{1}{8} \int_{0}^{1} e^{- 8 y} d y)$

ステップ 5.2

$\frac{1}{8}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} + \frac{1}{8} \int_{0}^{1} e^{- 8 y} d y$

ステップ 6

$u = - 8 y$ とします。次に $d u = - 8 d y$ すると、 $- \frac{1}{8} d u = d y$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 6.1

$u = - 8 y$ とします。 $\frac{d u}{d y}$ を求めます。

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ステップ 6.1.1

$- 8 y$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [- 8 y]$

ステップ 6.1.2

$- 8$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $- 8 y$ の微分係数は $- 8 \frac{d}{d y} [y]$ です。

$- 8 \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 6.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 8 \cdot 1$

ステップ 6.1.4

$- 8$ に $1$ をかけます。

$- 8$

ステップ 6.2

$u = - 8 y$ の $y$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = - 8 \cdot 0$

ステップ 6.3

$- 8$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 0$

ステップ 6.4

$u = - 8 y$ の $y$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = - 8 \cdot 1$

ステップ 6.5

$- 8$ に $1$ をかけます。

$u_{upper} = - 8$

ステップ 6.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 8$

ステップ 6.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} + \frac{1}{8} \int_{0}^{- 8} e^{u} \frac{1}{- 8} d u$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} + \frac{1}{8} \int_{0}^{- 8} e^{u} (- \frac{1}{8}) d u$

ステップ 7.2

$e^{u}$ と $\frac{1}{8}$ をまとめます。

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} + \frac{1}{8} \int_{0}^{- 8} - \frac{e^{u}}{8} d u$

ステップ 8

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} + \frac{1}{8} (- \int_{0}^{- 8} \frac{e^{u}}{8} d u)$

ステップ 9

$\frac{1}{8}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{8}$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} + \frac{1}{8} (- (\frac{1}{8} \int_{0}^{- 8} e^{u} d u))$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

$\frac{1}{8}$ に $\frac{1}{8}$ をかけます。

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} - \frac{1}{8 \cdot 8} \int_{0}^{- 8} e^{u} d u$

ステップ 10.2

$8$ に $8$ をかけます。

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} - \frac{1}{64} \int_{0}^{- 8} e^{u} d u$

ステップ 11

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} - \frac{1}{64} e^{u}]_{0}^{- 8}$

ステップ 12

代入し簡約します。

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ステップ 12.1

$1$ および $0$ で $- \frac{y e^{- 8 y}}{8}$ の値を求めます。

$(- \frac{1 e^{- 8 \cdot 1}}{8}) + \frac{0 e^{- 8 \cdot 0}}{8} - \frac{1}{64} e^{u}]_{0}^{- 8}$

ステップ 12.2

$- 8$ および $0$ で $e^{u}$ の値を求めます。

$(- \frac{1 e^{- 8 \cdot 1}}{8}) + \frac{0 e^{- 8 \cdot 0}}{8} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

ステップ 12.3

簡約します。

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ステップ 12.3.1

$- 8$ に $1$ をかけます。

$- \frac{1 e^{- 8}}{8} + \frac{0 e^{- 8 \cdot 0}}{8} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

ステップ 12.3.2

$e^{- 8}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{e^{- 8}}{8} + \frac{0 e^{- 8 \cdot 0}}{8} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

ステップ 12.3.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $e^{- 8}$ を分母に移動させます。

$- \frac{1}{8 e^{8}} + \frac{0 e^{- 8 \cdot 0}}{8} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

ステップ 12.3.4

$- 8$ に $0$ をかけます。

$- \frac{1}{8 e^{8}} + \frac{0 e^{0}}{8} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

ステップ 12.3.5

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$- \frac{1}{8 e^{8}} + \frac{0 \cdot 1}{8} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

ステップ 12.3.6

$0$ に $1$ をかけます。

$- \frac{1}{8 e^{8}} + \frac{0}{8} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

ステップ 12.3.7

$0$ と $8$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.3.7.1

$8$ を $0$ で因数分解します。

$- \frac{1}{8 e^{8}} + \frac{8 (0)}{8} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

ステップ 12.3.7.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.3.7.2.1

$8$ を $8$ で因数分解します。

$- \frac{1}{8 e^{8}} + \frac{8 \cdot 0}{8 \cdot 1} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

ステップ 12.3.7.2.2

共通因数を約分します。

$- \frac{1}{8 e^{8}} + \frac{8 \cdot 0}{8 \cdot 1} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

ステップ 12.3.7.2.3

式を書き換えます。

$- \frac{1}{8 e^{8}} + \frac{0}{1} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

ステップ 12.3.7.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$- \frac{1}{8 e^{8}} + 0 - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

ステップ 12.3.8

$- \frac{1}{8 e^{8}}$ と $0$ をたし算します。

$- \frac{1}{8 e^{8}} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

ステップ 12.3.9

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$- \frac{1}{8 e^{8}} - \frac{1}{64} (e^{- 8} - 1 \cdot 1)$

ステップ 12.3.10

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- \frac{1}{8 e^{8}} - \frac{1}{64} (e^{- 8} - 1)$

ステップ 12.3.11

$- \frac{1}{64} (e^{- 8} - 1)$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{8 e^{8}}{8 e^{8}}$ を掛けます。

$- \frac{1}{8 e^{8}} - \frac{1}{64} (e^{- 8} - 1) \cdot \frac{8 e^{8}}{8 e^{8}}$

ステップ 12.3.12

$- \frac{1}{64} (e^{- 8} - 1)$ と $\frac{8 e^{8}}{8 e^{8}}$ をまとめます。

$- \frac{1}{8 e^{8}} + \frac{- \frac{1}{64} (e^{- 8} - 1) (8 e^{8})}{8 e^{8}}$

ステップ 12.3.13

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 1 - \frac{1}{64} (e^{- 8} - 1) (8 e^{8})}{8 e^{8}}$

ステップ 12.3.14

$8$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- 1 - 8 (\frac{1}{64}) (e^{- 8} - 1) e^{8}}{8 e^{8}}$

ステップ 12.3.15

$- 8$ と $\frac{1}{64}$ をまとめます。

$\frac{- 1 + \frac{- 8}{64} (e^{- 8} - 1) e^{8}}{8 e^{8}}$

ステップ 12.3.16

$e^{8}$ と $\frac{- 8}{64}$ をまとめます。

$\frac{- 1 + \frac{e^{8} \cdot - 8}{64} (e^{- 8} - 1)}{8 e^{8}}$

ステップ 12.3.17

$- 8$ を $e^{8}$ の左に移動させます。

$\frac{- 1 + \frac{- 8 \cdot e^{8}}{64} (e^{- 8} - 1)}{8 e^{8}}$

ステップ 12.3.18

$- 8$ と $64$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.3.18.1

$8$ を $- 8 e^{8}$ で因数分解します。

$\frac{- 1 + \frac{8 (- e^{8})}{64} (e^{- 8} - 1)}{8 e^{8}}$

ステップ 12.3.18.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.3.18.2.1

$8$ を $64$ で因数分解します。

$\frac{- 1 + \frac{8 (- e^{8})}{8 (8)} (e^{- 8} - 1)}{8 e^{8}}$

ステップ 12.3.18.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{- 1 + \frac{8 (- e^{8})}{8 \cdot 8} (e^{- 8} - 1)}{8 e^{8}}$

ステップ 12.3.18.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- 1 + \frac{- e^{8}}{8} (e^{- 8} - 1)}{8 e^{8}}$

ステップ 12.3.19

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{- 1 - \frac{e^{8}}{8} (e^{- 8} - 1)}{8 e^{8}}$

ステップ 13

簡約します。

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ステップ 13.1

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (1) - \frac{e^{8}}{8} (e^{- 8} - 1)}{8 e^{8}}$

ステップ 13.2

$- 1$ を $- \frac{e^{8}}{8} (e^{- 8} - 1)$ で因数分解します。

$\frac{- 1 (1) - (\frac{e^{8}}{8} (e^{- 8} - 1))}{8 e^{8}}$

ステップ 13.3

$- 1$ を $- 1 (1) - (\frac{e^{8}}{8} (e^{- 8} - 1))$ で因数分解します。

$\frac{- 1 (1 + \frac{e^{8}}{8} (e^{- 8} - 1))}{8 e^{8}}$

ステップ 13.4

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1 + \frac{e^{8}}{8} (e^{- 8} - 1)}{8 e^{8}}$

ステップ 14

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1.1

分配則を当てはめます。

$- \frac{1 + \frac{e^{8}}{8} e^{- 8} + \frac{e^{8}}{8} \cdot - 1}{8 e^{8}}$

ステップ 14.1.2

$\frac{e^{8}}{8} e^{- 8}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1.2.1

$\frac{e^{8}}{8}$ と $e^{- 8}$ をまとめます。

$- \frac{1 + \frac{e^{8} e^{- 8}}{8} + \frac{e^{8}}{8} \cdot - 1}{8 e^{8}}$

ステップ 14.1.2.2

指数を足して $e^{8}$ に $e^{- 8}$ を掛けます。

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ステップ 14.1.2.2.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{1 + \frac{e^{8 - 8}}{8} + \frac{e^{8}}{8} \cdot - 1}{8 e^{8}}$

ステップ 14.1.2.2.2

$8$ から $8$ を引きます。

$- \frac{1 + \frac{e^{0}}{8} + \frac{e^{8}}{8} \cdot - 1}{8 e^{8}}$

ステップ 14.1.2.3

$e^{0}$ を簡約します。

$- \frac{1 + \frac{1}{8} + \frac{e^{8}}{8} \cdot - 1}{8 e^{8}}$

ステップ 14.1.3

$\frac{e^{8}}{8}$ と $- 1$ をまとめます。

$- \frac{1 + \frac{1}{8} + \frac{e^{8} \cdot - 1}{8}}{8 e^{8}}$

ステップ 14.1.4

各項を簡約します。

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ステップ 14.1.4.1

$- 1$ を $e^{8}$ の左に移動させます。

$- \frac{1 + \frac{1}{8} + \frac{- 1 \cdot e^{8}}{8}}{8 e^{8}}$

ステップ 14.1.4.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1 + \frac{1}{8} - \frac{e^{8}}{8}}{8 e^{8}}$

ステップ 14.1.5

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$- \frac{\frac{8}{8} + \frac{1}{8} - \frac{e^{8}}{8}}{8 e^{8}}$

ステップ 14.1.6

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{\frac{8 + 1}{8} - \frac{e^{8}}{8}}{8 e^{8}}$

ステップ 14.1.7

$8$ と $1$ をたし算します。

$- \frac{\frac{9}{8} - \frac{e^{8}}{8}}{8 e^{8}}$

ステップ 14.1.8

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{\frac{9 - e^{8}}{8}}{8 e^{8}}$

ステップ 14.1.9

分子を簡約します。

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ステップ 14.1.9.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$- \frac{\frac{3^{2} - e^{8}}{8}}{8 e^{8}}$

ステップ 14.1.9.2

$e^{8}$ を ${(e^{4})}^{2}$ に書き換えます。

$- \frac{\frac{3^{2} - {(e^{4})}^{2}}{8}}{8 e^{8}}$

ステップ 14.1.9.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 3$ であり、 $b = e^{4}$ です。

$- \frac{\frac{(3 + e^{4}) (3 - e^{4})}{8}}{8 e^{8}}$

ステップ 14.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$- (\frac{(3 + e^{4}) (3 - e^{4})}{8} \cdot \frac{1}{8 e^{8}})$

ステップ 14.3

まとめる。

$- \frac{(3 + e^{4}) (3 - e^{4}) \cdot 1}{8 (8 e^{8})}$

ステップ 14.4

$3 + e^{4}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{(3 + e^{4}) (3 - e^{4})}{8 \cdot 8 e^{8}}$

ステップ 14.5

$8$ に $8$ をかけます。

$- \frac{(3 + e^{4}) (3 - e^{4})}{8^{2} e^{8}}$

ステップ 14.6

$8$ を $2$ 乗します。

$- \frac{(3 + e^{4}) (3 - e^{4})}{64 e^{8}}$

ステップ 15

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- \frac{(3 + e^{4}) (3 - e^{4})}{64 e^{8}}$

10進法形式：

$0.01557782 \dots$

ステップ 16

微分積分 例

微分積分例