微分積分例

$s = t^{2} \ln (t)$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d t} (s) = \frac{d}{d t} (t^{2} \ln (t))$

ステップ 2

$t$ に関する $s$ の微分係数は $s'$ です。

$s'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (t) = t^{2}$ および $g (t) = \ln (t)$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ は $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$t^{2} \frac{d}{d t} [\ln (t)] + \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

ステップ 3.2

$t$ に関する $\ln (t)$ の微分係数は $\frac{1}{t}$ です。

$t^{2} \frac{1}{t} + \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

ステップ 3.3

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 3.3.1

$t^{2}$ と $\frac{1}{t}$ をまとめます。

$\frac{t^{2}}{t} + \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

ステップ 3.3.2

$t^{2}$ と $t$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.2.1

$t$ を $t^{2}$ で因数分解します。

$\frac{t \cdot t}{t} + \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

ステップ 3.3.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.2.2.1

$t$ を $1$ 乗します。

$\frac{t \cdot t}{t^{1}} + \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

ステップ 3.3.2.2.2

$t$ を $t^{1}$ で因数分解します。

$\frac{t \cdot t}{t \cdot 1} + \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

ステップ 3.3.2.2.3

共通因数を約分します。

$\frac{t \cdot t}{t \cdot 1} + \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

ステップ 3.3.2.2.4

式を書き換えます。

$\frac{t}{1} + \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

ステップ 3.3.2.2.5

$t$ を $1$ で割ります。

$t + \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

ステップ 3.3.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$t + \ln (t) (2 t)$

ステップ 3.3.4

項を並べ替えます。

$2 t \ln (t) + t$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$s' = 2 t \ln (t) + t$

ステップ 5

$s'$ を $\frac{d s}{d t}$ で置き換えます。

$\frac{d s}{d t} = 2 t \ln (t) + t$

微分積分 例

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