微分積分例

$\int_{0}^{1} 9 x {(x^{2} - 1)}^{9} d x$

ステップ 1

$9$ は $x$ に対して定数なので、 $9$ を積分の外に移動させます。

$9 \int_{0}^{1} x {(x^{2} - 1)}^{9} d x$

ステップ 2

$u = x^{2} - 1$ とします。次に $d u = 2 x d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = x d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$u = x^{2} - 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$x^{2} - 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

ステップ 2.1.2

総和則では、 $x^{2} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.1.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.1.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$2 x + 0$

ステップ 2.1.5

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$2 x$

ステップ 2.2

$u = x^{2} - 1$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 0^{2} - 1$

ステップ 2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$u_{lower} = 0 - 1$

ステップ 2.3.2

$0$ から $1$ を引きます。

$u_{lower} = - 1$

ステップ 2.4

$u = x^{2} - 1$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 1^{2} - 1$

ステップ 2.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

1のすべての数の累乗は1です。

$u_{upper} = 1 - 1$

ステップ 2.5.2

$1$ から $1$ を引きます。

$u_{upper} = 0$

ステップ 2.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = 0$

ステップ 2.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$9 \int_{- 1}^{0} u^{9} \frac{1}{2} d u$

ステップ 3

$u^{9}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$9 \int_{- 1}^{0} \frac{u^{9}}{2} d u$

ステップ 4

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$9 (\frac{1}{2} \int_{- 1}^{0} u^{9} d u)$

ステップ 5

$\frac{1}{2}$ と $9$ をまとめます。

$\frac{9}{2} \int_{- 1}^{0} u^{9} d u$

ステップ 6

べき乗則では、 $u^{9}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{10} u^{10}$ です。

$\frac{9}{2} \frac{1}{10} u^{10}]_{- 1}^{0}$

ステップ 7

代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$0$ および $- 1$ で $\frac{1}{10} u^{10}$ の値を求めます。

$\frac{9}{2} ((\frac{1}{10} \cdot 0^{10}) - \frac{1}{10} {(- 1)}^{10})$

ステップ 7.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{9}{2} (\frac{1}{10} \cdot 0 - \frac{1}{10} {(- 1)}^{10})$

ステップ 7.2.2

$\frac{1}{10}$ に $0$ をかけます。

$\frac{9}{2} (0 - \frac{1}{10} {(- 1)}^{10})$

ステップ 7.2.3

$- 1$ を $10$ 乗します。

$\frac{9}{2} (0 - \frac{1}{10} \cdot 1)$

ステップ 7.2.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{9}{2} (0 - \frac{1}{10})$

ステップ 7.2.5

$0$ から $\frac{1}{10}$ を引きます。

$\frac{9}{2} (- \frac{1}{10})$

ステップ 7.2.6

$\frac{9}{2}$ に $\frac{1}{10}$ をかけます。

$- \frac{9}{2 \cdot 10}$

ステップ 7.2.7

$2$ に $10$ をかけます。

$- \frac{9}{20}$

ステップ 8

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- \frac{9}{20}$

10進法形式：

$- 0.45$

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例