微分積分例

$\int_{0}^{1} 5 x^{4} {(3 + x^{5})}^{4} d x$

ステップ 1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $5$ を積分の外に移動させます。

$5 \int_{0}^{1} x^{4} {(3 + x^{5})}^{4} d x$

ステップ 2

$u = 3 + x^{5}$ とします。次に $d u = 5 x^{4} d x$ すると、 $\frac{1}{5} d u = x^{4} d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$u = 3 + x^{5}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$3 + x^{5}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [3 + x^{5}]$

ステップ 2.1.2

総和則では、 $3 + x^{5}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x^{5}]$ です。

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x^{5}]$

ステップ 2.1.3

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [x^{5}]$

ステップ 2.1.4

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 5 x^{4}$

ステップ 2.1.5

$0$ と $5 x^{4}$ をたし算します。

$5 x^{4}$

ステップ 2.2

$u = 3 + x^{5}$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 3 + 0^{5}$

ステップ 2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$u_{lower} = 3 + 0$

ステップ 2.3.2

$3$ と $0$ をたし算します。

$u_{lower} = 3$

ステップ 2.4

$u = 3 + x^{5}$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 3 + 1^{5}$

ステップ 2.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

1のすべての数の累乗は1です。

$u_{upper} = 3 + 1$

ステップ 2.5.2

$3$ と $1$ をたし算します。

$u_{upper} = 4$

ステップ 2.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = 4$

ステップ 2.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$5 \int_{3}^{4} u^{4} \frac{1}{5} d u$

ステップ 3

$u^{4}$ と $\frac{1}{5}$ をまとめます。

$5 \int_{3}^{4} \frac{u^{4}}{5} d u$

ステップ 4

$\frac{1}{5}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{5}$ を積分の外に移動させます。

$5 (\frac{1}{5} \int_{3}^{4} u^{4} d u)$

ステップ 5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$\frac{1}{5}$ と $5$ をまとめます。

$\frac{5}{5} \int_{3}^{4} u^{4} d u$

ステップ 5.2

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{5}{5} \int_{3}^{4} u^{4} d u$

ステップ 5.2.2

式を書き換えます。

$1 \int_{3}^{4} u^{4} d u$

ステップ 5.3

$\int_{3}^{4} u^{4} d u$ に $1$ をかけます。

$\int_{3}^{4} u^{4} d u$

ステップ 6

べき乗則では、 $u^{4}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{5} u^{5}$ です。

$\frac{1}{5} u^{5}]_{3}^{4}$

ステップ 7

代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$4$ および $3$ で $\frac{1}{5} u^{5}$ の値を求めます。

$(\frac{1}{5} \cdot 4^{5}) - \frac{1}{5} \cdot 3^{5}$

ステップ 7.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

$4$ を $5$ 乗します。

$\frac{1}{5} \cdot 1024 - \frac{1}{5} \cdot 3^{5}$

ステップ 7.2.2

$\frac{1}{5}$ と $1024$ をまとめます。

$\frac{1024}{5} - \frac{1}{5} \cdot 3^{5}$

ステップ 7.2.3

$3$ を $5$ 乗します。

$\frac{1024}{5} - \frac{1}{5} \cdot 243$

ステップ 7.2.4

$243$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1024}{5} - 243 (\frac{1}{5})$

ステップ 7.2.5

$- 243$ と $\frac{1}{5}$ をまとめます。

$\frac{1024}{5} + \frac{- 243}{5}$

ステップ 7.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1024}{5} - \frac{243}{5}$

ステップ 7.2.7

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1024 - 243}{5}$

ステップ 7.2.8

$1024$ から $243$ を引きます。

$\frac{781}{5}$

ステップ 8

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{781}{5}$

10進法形式：

$156.2$

帯分数形：

$156 \frac{1}{5}$

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例