微分積分例

$\int_{0}^{1} x (8 \sqrt[3]{x} + 5 \sqrt[4]{x}) d x$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x}$ を $x^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$\int_{0}^{1} x (8 x^{\frac{1}{3}} + 5 \sqrt[4]{x}) d x$

ステップ 2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[4]{x}$ を $x^{\frac{1}{4}}$ に書き換えます。

$\int_{0}^{1} x (8 x^{\frac{1}{3}} + 5 x^{\frac{1}{4}}) d x$

ステップ 3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

$\int_{0}^{1} x (8 x^{\frac{1}{3}}) + x (5 x^{\frac{1}{4}}) d x$

ステップ 3.2

$x$ と $8$ を並べ替えます。

$\int_{0}^{1} 8 \cdot x \cdot x^{\frac{1}{3}} + x (5 x^{\frac{1}{4}}) d x$

ステップ 3.3

$x$ と $5$ を並べ替えます。

$\int_{0}^{1} 8 \cdot x \cdot x^{\frac{1}{3}} + 5 \cdot x \cdot x^{\frac{1}{4}} d x$

ステップ 3.4

$x$ を $1$ 乗します。

$\int_{0}^{1} 8 (x^{1} x^{\frac{1}{3}}) + 5 x \cdot x^{\frac{1}{4}} d x$

ステップ 3.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int_{0}^{1} 8 x^{1 + \frac{1}{3}} + 5 x \cdot x^{\frac{1}{4}} d x$

ステップ 3.6

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\int_{0}^{1} 8 x^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}} + 5 x \cdot x^{\frac{1}{4}} d x$

ステップ 3.7

公分母の分子をまとめます。

$\int_{0}^{1} 8 x^{\frac{3 + 1}{3}} + 5 x \cdot x^{\frac{1}{4}} d x$

ステップ 3.8

$3$ と $1$ をたし算します。

$\int_{0}^{1} 8 x^{\frac{4}{3}} + 5 x \cdot x^{\frac{1}{4}} d x$

ステップ 3.9

$x$ を $1$ 乗します。

$\int_{0}^{1} 8 x^{\frac{4}{3}} + 5 (x^{1} x^{\frac{1}{4}}) d x$

ステップ 3.10

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int_{0}^{1} 8 x^{\frac{4}{3}} + 5 x^{1 + \frac{1}{4}} d x$

ステップ 3.11

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\int_{0}^{1} 8 x^{\frac{4}{3}} + 5 x^{\frac{4}{4} + \frac{1}{4}} d x$

ステップ 3.12

公分母の分子をまとめます。

$\int_{0}^{1} 8 x^{\frac{4}{3}} + 5 x^{\frac{4 + 1}{4}} d x$

ステップ 3.13

$4$ と $1$ をたし算します。

$\int_{0}^{1} 8 x^{\frac{4}{3}} + 5 x^{\frac{5}{4}} d x$

ステップ 4

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{0}^{1} 8 x^{\frac{4}{3}} d x + \int_{0}^{1} 5 x^{\frac{5}{4}} d x$

ステップ 5

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $8$ を積分の外に移動させます。

$8 \int_{0}^{1} x^{\frac{4}{3}} d x + \int_{0}^{1} 5 x^{\frac{5}{4}} d x$

ステップ 6

べき乗則では、 $x^{\frac{4}{3}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}}$ です。

$8 (\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 5 x^{\frac{5}{4}} d x$

ステップ 7

$\frac{3}{7}$ と $x^{\frac{7}{3}}$ をまとめます。

$8 (\frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{7}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 5 x^{\frac{5}{4}} d x$

ステップ 8

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $5$ を積分の外に移動させます。

$8 (\frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{7}]_{0}^{1}) + 5 \int_{0}^{1} x^{\frac{5}{4}} d x$

ステップ 9

べき乗則では、 $x^{\frac{5}{4}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{4}{9} x^{\frac{9}{4}}$ です。

$8 (\frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{7}]_{0}^{1}) + 5 (\frac{4}{9} x^{\frac{9}{4}}]_{0}^{1})$

ステップ 10

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

$\frac{4}{9}$ と $x^{\frac{9}{4}}$ をまとめます。

$8 (\frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{7}]_{0}^{1}) + 5 (\frac{4 x^{\frac{9}{4}}}{9}]_{0}^{1})$

ステップ 10.2

代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1

$1$ および $0$ で $\frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{7}$ の値を求めます。

$8 ((\frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 0^{\frac{7}{3}}}{7}) + 5 (\frac{4 x^{\frac{9}{4}}}{9}]_{0}^{1})$

ステップ 10.2.2

$1$ および $0$ で $\frac{4 x^{\frac{9}{4}}}{9}$ の値を求めます。

$8 (\frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{7}{3}}}{7}) + 5 (\frac{4 \cdot 1^{\frac{9}{4}}}{9} - \frac{4 \cdot 0^{\frac{9}{4}}}{9})$

ステップ 10.2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.3.1

1のすべての数の累乗は1です。

$8 (\frac{3 \cdot 1}{7} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{7}{3}}}{7}) + 5 (\frac{4 \cdot 1^{\frac{9}{4}}}{9} - \frac{4 \cdot 0^{\frac{9}{4}}}{9})$

ステップ 10.2.3.2

$3$ に $1$ をかけます。

$8 (\frac{3}{7} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{7}{3}}}{7}) + 5 (\frac{4 \cdot 1^{\frac{9}{4}}}{9} - \frac{4 \cdot 0^{\frac{9}{4}}}{9})$

ステップ 10.2.3.3

$0$ を $0^{3}$ に書き換えます。

$8 (\frac{3}{7} - \frac{3 \cdot {(0^{3})}^{\frac{7}{3}}}{7}) + 5 (\frac{4 \cdot 1^{\frac{9}{4}}}{9} - \frac{4 \cdot 0^{\frac{9}{4}}}{9})$

ステップ 10.2.3.4

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$8 (\frac{3}{7} - \frac{3 \cdot 0^{3 (\frac{7}{3})}}{7}) + 5 (\frac{4 \cdot 1^{\frac{9}{4}}}{9} - \frac{4 \cdot 0^{\frac{9}{4}}}{9})$

ステップ 10.2.3.5

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.3.5.1

共通因数を約分します。

$8 (\frac{3}{7} - \frac{3 \cdot 0^{3 (\frac{7}{3})}}{7}) + 5 (\frac{4 \cdot 1^{\frac{9}{4}}}{9} - \frac{4 \cdot 0^{\frac{9}{4}}}{9})$

ステップ 10.2.3.5.2

式を書き換えます。

$8 (\frac{3}{7} - \frac{3 \cdot 0^{7}}{7}) + 5 (\frac{4 \cdot 1^{\frac{9}{4}}}{9} - \frac{4 \cdot 0^{\frac{9}{4}}}{9})$

ステップ 10.2.3.6

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$8 (\frac{3}{7} - \frac{3 \cdot 0}{7}) + 5 (\frac{4 \cdot 1^{\frac{9}{4}}}{9} - \frac{4 \cdot 0^{\frac{9}{4}}}{9})$

ステップ 10.2.3.7

$3$ に $0$ をかけます。

$8 (\frac{3}{7} - \frac{0}{7}) + 5 (\frac{4 \cdot 1^{\frac{9}{4}}}{9} - \frac{4 \cdot 0^{\frac{9}{4}}}{9})$

ステップ 10.2.3.8

$0$ と $7$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.3.8.1

$7$ を $0$ で因数分解します。

$8 (\frac{3}{7} - \frac{7 (0)}{7}) + 5 (\frac{4 \cdot 1^{\frac{9}{4}}}{9} - \frac{4 \cdot 0^{\frac{9}{4}}}{9})$

ステップ 10.2.3.8.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.3.8.2.1

$7$ を $7$ で因数分解します。

$8 (\frac{3}{7} - \frac{7 \cdot 0}{7 \cdot 1}) + 5 (\frac{4 \cdot 1^{\frac{9}{4}}}{9} - \frac{4 \cdot 0^{\frac{9}{4}}}{9})$

ステップ 10.2.3.8.2.2

共通因数を約分します。

$8 (\frac{3}{7} - \frac{7 \cdot 0}{7 \cdot 1}) + 5 (\frac{4 \cdot 1^{\frac{9}{4}}}{9} - \frac{4 \cdot 0^{\frac{9}{4}}}{9})$

ステップ 10.2.3.8.2.3

式を書き換えます。

$8 (\frac{3}{7} - \frac{0}{1}) + 5 (\frac{4 \cdot 1^{\frac{9}{4}}}{9} - \frac{4 \cdot 0^{\frac{9}{4}}}{9})$

ステップ 10.2.3.8.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$8 (\frac{3}{7} - 0) + 5 (\frac{4 \cdot 1^{\frac{9}{4}}}{9} - \frac{4 \cdot 0^{\frac{9}{4}}}{9})$

ステップ 10.2.3.9

$- 1$ に $0$ をかけます。

$8 (\frac{3}{7} + 0) + 5 (\frac{4 \cdot 1^{\frac{9}{4}}}{9} - \frac{4 \cdot 0^{\frac{9}{4}}}{9})$

ステップ 10.2.3.10

$\frac{3}{7}$ と $0$ をたし算します。

$8 (\frac{3}{7}) + 5 (\frac{4 \cdot 1^{\frac{9}{4}}}{9} - \frac{4 \cdot 0^{\frac{9}{4}}}{9})$

ステップ 10.2.3.11

$8$ と $\frac{3}{7}$ をまとめます。

$\frac{8 \cdot 3}{7} + 5 (\frac{4 \cdot 1^{\frac{9}{4}}}{9} - \frac{4 \cdot 0^{\frac{9}{4}}}{9})$

ステップ 10.2.3.12

$8$ に $3$ をかけます。

$\frac{24}{7} + 5 (\frac{4 \cdot 1^{\frac{9}{4}}}{9} - \frac{4 \cdot 0^{\frac{9}{4}}}{9})$

ステップ 10.2.3.13

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{24}{7} + 5 (\frac{4 \cdot 1}{9} - \frac{4 \cdot 0^{\frac{9}{4}}}{9})$

ステップ 10.2.3.14

$4$ に $1$ をかけます。

$\frac{24}{7} + 5 (\frac{4}{9} - \frac{4 \cdot 0^{\frac{9}{4}}}{9})$

ステップ 10.2.3.15

$0$ を $0^{4}$ に書き換えます。

$\frac{24}{7} + 5 (\frac{4}{9} - \frac{4 \cdot {(0^{4})}^{\frac{9}{4}}}{9})$

ステップ 10.2.3.16

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{24}{7} + 5 (\frac{4}{9} - \frac{4 \cdot 0^{4 (\frac{9}{4})}}{9})$

ステップ 10.2.3.17

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.3.17.1

共通因数を約分します。

$\frac{24}{7} + 5 (\frac{4}{9} - \frac{4 \cdot 0^{4 (\frac{9}{4})}}{9})$

ステップ 10.2.3.17.2

式を書き換えます。

$\frac{24}{7} + 5 (\frac{4}{9} - \frac{4 \cdot 0^{9}}{9})$

ステップ 10.2.3.18

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{24}{7} + 5 (\frac{4}{9} - \frac{4 \cdot 0}{9})$

ステップ 10.2.3.19

$4$ に $0$ をかけます。

$\frac{24}{7} + 5 (\frac{4}{9} - \frac{0}{9})$

ステップ 10.2.3.20

$0$ と $9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.3.20.1

$9$ を $0$ で因数分解します。

$\frac{24}{7} + 5 (\frac{4}{9} - \frac{9 (0)}{9})$

ステップ 10.2.3.20.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.3.20.2.1

$9$ を $9$ で因数分解します。

$\frac{24}{7} + 5 (\frac{4}{9} - \frac{9 \cdot 0}{9 \cdot 1})$

ステップ 10.2.3.20.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{24}{7} + 5 (\frac{4}{9} - \frac{9 \cdot 0}{9 \cdot 1})$

ステップ 10.2.3.20.2.3

式を書き換えます。

$\frac{24}{7} + 5 (\frac{4}{9} - \frac{0}{1})$

ステップ 10.2.3.20.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$\frac{24}{7} + 5 (\frac{4}{9} - 0)$

ステップ 10.2.3.21

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\frac{24}{7} + 5 (\frac{4}{9} + 0)$

ステップ 10.2.3.22

$\frac{4}{9}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{24}{7} + 5 (\frac{4}{9})$

ステップ 10.2.3.23

$5$ と $\frac{4}{9}$ をまとめます。

$\frac{24}{7} + \frac{5 \cdot 4}{9}$

ステップ 10.2.3.24

$5$ に $4$ をかけます。

$\frac{24}{7} + \frac{20}{9}$

ステップ 10.2.3.25

$\frac{24}{7}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{9}{9}$ を掛けます。

$\frac{24}{7} \cdot \frac{9}{9} + \frac{20}{9}$

ステップ 10.2.3.26

$\frac{20}{9}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{7}{7}$ を掛けます。

$\frac{24}{7} \cdot \frac{9}{9} + \frac{20}{9} \cdot \frac{7}{7}$

ステップ 10.2.3.27

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $63$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.3.27.1

$\frac{24}{7}$ に $\frac{9}{9}$ をかけます。

$\frac{24 \cdot 9}{7 \cdot 9} + \frac{20}{9} \cdot \frac{7}{7}$

ステップ 10.2.3.27.2

$7$ に $9$ をかけます。

$\frac{24 \cdot 9}{63} + \frac{20}{9} \cdot \frac{7}{7}$

ステップ 10.2.3.27.3

$\frac{20}{9}$ に $\frac{7}{7}$ をかけます。

$\frac{24 \cdot 9}{63} + \frac{20 \cdot 7}{9 \cdot 7}$

ステップ 10.2.3.27.4

$9$ に $7$ をかけます。

$\frac{24 \cdot 9}{63} + \frac{20 \cdot 7}{63}$

ステップ 10.2.3.28

公分母の分子をまとめます。

$\frac{24 \cdot 9 + 20 \cdot 7}{63}$

ステップ 10.2.3.29

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.3.29.1

$24$ に $9$ をかけます。

$\frac{216 + 20 \cdot 7}{63}$

ステップ 10.2.3.29.2

$20$ に $7$ をかけます。

$\frac{216 + 140}{63}$

ステップ 10.2.3.29.3

$216$ と $140$ をたし算します。

$\frac{356}{63}$

ステップ 11

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{356}{63}$

10進法形式：

$5.\overline{650793}$

帯分数形：

$5 \frac{41}{63}$

ステップ 12

微分積分 例

微分積分例